Voy a elaborar el análisis aquí en la respuesta, y ver si soy capaz de dar sentido a su pregunta en el proceso.
Se nos da el oscilador de dos parámetros:
$$ \ddot{x} + ax + bx^3 = 0$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$ \begin{align} \dot{x} &= y \\ \dot{y} & = -ax - b{x^3} \end{align} $$
Podría referirse a $\mathbf{f}(x, y) = (\dot{x}, \dot{y})$ más tarde.
Los puntos fijos se producen cuando las líneas nulas se cruzan. Es decir:
$$ \begin{align} &\quad\; \dot{x} = 0 \wedge \dot{y} = 0 \\ &\equiv y = 0 \wedge 0 = -ax -bx^3 \\ &\equiv y = 0 \wedge 0 = x(-a - bx^2) \\ &\equiv y = 0 \wedge \left(x = 0 \vee x = \pm\sqrt{-a/b}\right) \\ &\equiv (y = 0 \wedge x = 0) \vee \left(y = 0 \wedge x = \sqrt{-a/b}\right) \vee \left(y = 0 \wedge x = -\sqrt{-a/b}\right) \end{align} $$
Por lo tanto, hay tres puntos fijos. $\mathbf{p}_1^* = (0, 0)$ es independiente de los parámetros (es decir, existe para todos los valores del parámetro). Los otros dos ( $\mathbf{p}_2^* = (\sqrt{-a/b}, 0)$ y $\mathbf{p}_3^* = (-\sqrt{-a/b}, 0)$ ) dependen de los parámetros. En particular, sólo existen si $ab < 0$ .
Podemos determinar el tipo topológico de los puntos fijos hiperbólicos utilizando el análisis de estabilidad lineal. Consideremos el jacobiano del problema en cuestión:
$$ \begin{align} \mathbb{J}(\mathbf{f}) = \left[\begin{array}{cc} \partial\dot{x}/\partial x & \partial\dot{x}/\partial y \\ \partial\dot{y}/\partial x & \partial\dot{y}/\partial y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -3bx^2 -a & 0 \end{array}\right] \end{align} $$
Llamamos al determinante del jacobiano $\Delta$ . Llamamos a la traza del jacobiano $\tau$ . Podemos utilizar $\Delta$ y $\tau$ para averiguar el tipo topológico de los puntos fijos hiperbólicos.
Evaluemos el jacobiano en los puntos fijos. En $\mathbf{p}_1^*$ :
$$ \begin{align} \mathbb{J}(\mathbf{f})\mid_{(0, 0)} &= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -a & 0 \end{array}\right] \\ \Delta_1 &= a \\ \tau_1 &= 0 \end{align} $$
En $\mathbf{p}_2^*$ :
$$ \begin{align} \mathbb{J}(\mathbf{f})\mid_{(\sqrt{-a/b}, 0)} &= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2a & 0 \end{array}\right] \\ \Delta_2 &= -2a \\ \tau_2 &= 0 \end{align} $$
En $\mathbf{p}_3^*$ :
$$ \begin{align} \mathbb{J}(\mathbf{f})\mid_{(-\sqrt{-a/b}, 0)} &= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2a & 0 \end{array}\right] \\ \Delta_3 &= -2a \\ \tau_3 &= 0 \end{align} $$
Tenga en cuenta que $\Delta_i$ sólo dependen de $a$ ¡! Cuando $a < 0$ entonces tenemos una silla de montar en $\mathbf{p}_1^*$ mientras que $\mathbf{p}_2^*$ , $\mathbf{p}_3^*$ son centros lineales es decir, no son hiperbólicos (los valores propios del jacobiano son puramente imaginarios), y no podemos decir mucho más al respecto sin más análisis.
La situación se invierte cuando $a < 0$ con $\mathbf{p}_1^*$ siendo un centro lineal no hiperbólico, y $\mathbf{p}_2^*, \mathbf{p}_3^*$ siendo sillas de montar. El hecho de que las cosas pasen de ser marginalmente estables a ser centros lineales debería darnos una pista de que podríamos querer comprobar la existencia de Bifurcaciones de Hopf .
Veamos si hay alguna cantidad conservada en el sistema que podamos utilizar para determinar la estabilidad real de los centros lineales. Una cantidad $E(x, y)$ se conserva si $\dot{E} = 0 = \nabla E \cdot \mathbf{f}$ :
$$ \begin{align} &\quad\; \frac{\partial E}{\partial x}y + \frac{\partial E}{\partial y}(-ax - bx^3) = 0 \\ &\Rightarrow \frac{\partial E}{\partial x} = (ax + bx^3) \wedge \frac{\partial E}{\partial y} = y \end{align} $$
Así que se puede hacer una integración parcial y demás (me está dando pereza y luego actualizaré el post como es debido) y deberíamos encontrar eso: $$E(x, y) = \frac{ax^2}{2} + \frac{bx^4}{4} + \frac{y^2}{2},$$
es una cantidad conservada. Esto implica que las trayectorias del punto de fase siempre se encuentran en conjuntos de niveles de $E$ . Utilizando Wolfram Alpha con $a = -1$ y $b = 1$ podemos ver que existen órbitas claramente cerradas alrededor de los mínimos de la cantidad conservada (que corresponden a los puntos fijos de $\mathbf{f}$ ):
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Ahora, cuando $a = 1$ y $b = -1$ lo vemos:
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Así que el origen pasó de ser un punto de silla de montar, a un centro con órbitas a su alrededor (¡como se puede ver en el mapa de contornos!).
Cuando $a = -1 < 0$ y $b = -1 < 0$ lo vemos:
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Cuando $a = 1 > 0$ y $b = 1 > 0$ lo vemos:
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Por lo tanto, pasamos de tener una estabilidad marginal a las oscilaciones.
Los comentarios son testigos de nuestra confusión respecto a si se trata simplemente de bifurcaciones de Hopf degeneradas, o si la naturaleza de las bifurcaciones, similar a la de una horquilla, tiene algún significado que merezca un nombre. Al final, tuve que preguntar a mi instructor, ya que no pude encontrar una buena respuesta por mi cuenta. Lo cito aquí:
La ecuación es conservadora, o hamiltoniana. Existe una teoría de bifurcaciones para sistemas hamiltonianos, diferente de la teoría de bifurcación "genérica" de bifurcación "genérica" debido a la estructura adicional. Lo que el oscilador de Duffing se suele denominar bifurcación de "horquilla hamiltoniana". bifurcación de horquilla" (fix $b$ , varían $a$ a través de $0$ ). Véase la página 399 de: http://people.mbi.ohio-state.edu/golubitsky.4/reprintweb-0.5/output/papers/hamiltonian_87.pdf por ejemplo.
