La prueba de Barnard se utiliza cuando el parámetro perturbador es desconocido bajo la hipótesis nula.
Sin embargo, en la prueba de degustación de la señora se podría argumentar que el parámetro de molestia se puede fijar en 0,5 bajo la hipótesis nula (la señora desinformada tiene un 50% de probabilidades de acertar una copa).
Entonces, el número de aciertos, bajo la hipótesis nula, se convierte en una distribución binomial: acertar 8 tazas con un 50% de probabilidad para cada taza.
En otras ocasiones puede que no tenga este trivial 50% de probabilidad para la hipótesis nula. Y sin márgenes fijos puede que no sepa cuál debe ser esa probabilidad. En ese caso necesita la prueba de Barnard.
Incluso si hiciera la prueba de Barnard en la prueba de la señora que prueba el té, se convertiría en el 50% de todos modos (si el resultado es todas las conjeturas correctas) ya que el parámetro de molestia con el valor p más alto es 0,5 y daría lugar a la prueba binomial trivial (en realidad es la combinación de dos pruebas binomiales una para las cuatro primeras tazas de leche y otra para las cuatro primeras tazas de té).
> library(Barnard)
> barnard.test(4,0,0,4)
Barnard's Unconditional Test
Treatment I Treatment II
Outcome I 4 0
Outcome II 0 4
Null hypothesis: Treatments have no effect on the outcomes
Score statistic = -2.82843
Nuisance parameter = 0.5 (One sided), 0.5 (Two sided)
P-value = 0.00390625 (One sided), 0.0078125 (Two sided)
> dbinom(8,8,0.5)
[1] 0.00390625
> dbinom(4,4,0.5)^2
[1] 0.00390625
A continuación se muestra cómo sería para un resultado más complicado (si no todas las suposiciones son correctas, por ejemplo, 2 frente a 4), entonces el recuento de lo que es y lo que no es extremo se vuelve un poco más difícil
(Obsérvese también que la prueba de Barnard utiliza, en el caso de un resultado de 4-2, un parámetro de error p=0,686 que podría argumentarse que no es correcto; el valor p para una probabilidad del 50% de responder "primero el té" sería de 0,08203125). Este valor es aún menor si se considera una región diferente, en su lugar la basada en el estadístico de Wald, aunque la definición de la región es no tan fácil )
out <- rep(0,1000)
for (k in 1:1000) {
p <- k/1000
ps <- matrix(rep(0,25),5) # probability for outcome i,j
ts <- matrix(rep(0,25),5) # distance of outcome i,j (using wald statistic)
for (i in 0:4) {
for (j in 0:4) {
ps[i+1,j+1] <- dbinom(i,4,p)*dbinom(j,4,p)
pt <- (i+j)/8
p1 <- i/4
p2 <- j/4
ts[i+1,j+1] <- (p2-p1)/sqrt(pt*(1-pt)*(0.25+0.25))
}
}
cases <- ts < ts[2+1,4+1]
cases[1,1] = TRUE
cases[5,5] = TRUE
ps
out[k] <- 1-sum(ps[cases])
}
> max(out)
[1] 0.08926748
> barnard.test(4,2,0,2)
Barnard's Unconditional Test
Treatment I Treatment II
Outcome I 4 2
Outcome II 0 2
Null hypothesis: Treatments have no effect on the outcomes
Score statistic = -1.63299
Nuisance parameter = 0.686 (One sided), 0.314 (Two sided)
P-value = 0.0892675 (One sided), 0.178535 (Two sided)
