¿Cuál es la intuición geométrica de las integrales trigonométricas básicas de Fourier?

Question

¿Cuál es la intuición geométrica de las integrales trigonométricas de Fourier?

Por ejemplo, ¿alguien puede ayudarme a entender la geometría de :

$\int_{-\pi}^{\pi}cos^2(x)dx = \pi$ y $\int_{-\pi}^{\pi}sin^2(x)dx = \pi$ ?

¿Por qué el área bajo estas gráficas sobre cualquier intervalo de longitud $2\pi$ ser $\pi$ ?

Además, me gustaría entender la intuición geométrica de la ortogonalidad del conjunto de funciones triginométricas $\{cos(1x),sin(1x),cos(2x),sin(2x),...\}$ en relación con el producto interior $(f,g) = \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx$

es decir:

$\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)sin(mx)dx = 0 \text{ for all } m,n$

$\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)dx = 0 \text{ when } m \neq n$

¿Cuál es la comprensión geométrica de por qué las áreas bajo estas gráficas en cualquier intervalo de longitud $2\pi$ ¿es cero?

¡¡¡Gracias!!!

Answer 1

El seno y el coseno son fundamentalmente componentes de la misma cosa: un círculo. Una buena forma de parametrizar el círculo es la exponencial compleja $\exp(i\theta)$ y luego están las partes real e imaginaria. Así, una integral como $\int_{-\pi}^\pi \cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ puede interpretarse como $\mathrm{Re}\int_{-\pi}^\pi\exp(i\theta)\,\mathrm{d}\theta$ . En efecto, si lo dividimos por $2\pi$ el resultado es el media $x$ -¡coordenada de un punto del círculo unitario! Esto, por simetría debería ser intuitivamente cierto: el círculo no está sesgado ni a la izquierda ni a la derecha. Lo mismo ocurre con $\sin$ en cuanto a $\cos$ pero con $y$ -coordenadas.

Una manera de formalizar esta intuición de simetría es que el resultado no se vea afectado por rotaciones (ya que multiplicar $\int_{-\pi}^\pi\exp(i\theta)\,\mathrm{d}\theta=\oint_{S^1}z\,\mathrm{d}z$ por un fasor, o número complejo de magnitud unitaria, da como resultado una integral equivalente mediante cambio de variables). Pero el único punto del plano que no se ve afectado por las rotaciones alrededor del origen es el propio origen (es decir, si $z\ne1$ entonces $zI=I$ implica $I=0$ ).

La misma idea se aplica a $\exp(in\theta)$ para cualquier número entero $n\ne0$ simplemente da varias vueltas al círculo, en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. Por simetría, esperamos que su integral sea $0$ . Por lo tanto, esperamos que sus componentes, las integrales de $\cos(n\theta)$ o $\sin(n\theta)$ para acabar siendo también $0$ . Excepto, por supuesto, en el incluso vamos alrededor de cero veces. Entonces obtenemos $\sin0=0$ o $\cos0=1$ .

¿Cómo interpretamos $f(m\theta)g(n\theta)$ como "componente" de algo para $f,g\in\{\cos,\sin\}$ ? Bien, sabemos por el funcionamiento de los números complejos que si obtuviéramos tales productos en las componentes real / imaginaria de algo como $\exp\!\big(i(\alpha\pm\beta)\big)$ . Si las escribimos y resolvemos los productos, obtenemos las identidades producto-suma estándar con $\frac{1}{2}[f((m+n)\theta\big)\pm g\big((m-n)\theta)]$ para $f,g\in\{\cos,\sin\}$ . Como ya he señalado, la integral resultante de cualquiera de los dos $f$ o $g$ debe ser cero, excepto en el caso de $\cos0$ en cuyo caso es la constante que aparece delante de $\cos0$ (veces la longitud del intervalo de integración).

Answer 2

En cuanto a la segunda parte de su pregunta: evidentemente no es sorprendente que $\sin(nx)$ y $\cos(nx)$ son ortogonales bajo $L^2$ producto interno sobre funciones en $[0,2\pi]$ por simetría de estas funciones.

Es menos obvio por qué $\sin(nx)$ y $\sin(mx)$ son ortogonales para $n \neq m$ . Tal vez no sea geométrico en el sentido que esperas, pero así es como yo lo veo: $\sin(nx)$ y $\sin(mx)$ son ambas funciones propias del operador autoadjunto $\frac{d^2}{dx^2}$ con diferentes valores propios, por lo que deben ser ortogonales. En otras palabras, la superficie $$\left\langle f, \frac{d^2}{dx^2}f\right\rangle = 1$$ es un "elipsoide" en el espacio métrico infinito de funciones cuadradas integrables sobre $[0,2\pi]$ y $\sin(nx)$ y $\sin(mx)$ son dos de sus "ejes principales" ortogonales.