Convergencia de una suma modificada de primos recíprocos para todo $s \in \mathbb{C}$ ?

Question

Se sabe que $\displaystyle \sum^\infty_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{p^s}$ con $\mathbb{P}$ el conjunto de los primos, sólo converge para $\Re(s) > 1$ .

La siguiente suma de primos parece converger para todos $s \in \mathbb{C}$ con un polo único (trivial) en $-1$ :

$$\displaystyle \sum^\infty_{p \in \mathbb{P}} \left( \frac{1}{p-\frac{1}{p^s}}- \frac{1}{p+\frac{1}{p^s}} \right)$$

Supongo que cuando $p \rightarrow \infty$ el término de suma incremental $\rightarrow 0$ por lo que la suma infinita convergerá (suponiendo que $s$ no está infinitamente cerca de $-1$ ). ¿Es correcto este razonamiento?

Tengo curiosidad por saber si esta suma infinita tiene algún cero en el dominio complejo (por $s \in \mathbb{R}$ no lo hace).

Answer 1

Supongo que cuando $p\to\infty$ el término de suma incremental $\to 0$ por lo que la suma infinita convergerá (suponiendo que $s$ no está infinitamente cerca de $−1$ ). ¿Es correcto este razonamiento?

Que el término de la serie converge a $0$ es necesario, pero no suficiente para que la serie converja. Tenemos que fijarnos más en los términos.

$$\begin{align} \frac{1}{p-\frac{1}{p^s}} - \frac{1}{p+\frac{1}{p^s}} &= \frac{\left(p + \frac{1}{p^s}\right) - \left(p-\frac{1}{p^s}\right)}{p^2 - \frac{1}{p^{2s}}}\\ &= \frac{2}{p^s\left(p^2 - p^{-2s}\right)}\\ &= \frac{2}{p(p^{1+s} - p^{-(1+s)})}. \end{align}$$

Esto demuestra que para $\operatorname{Re} s \neq -1$ la serie converge absolutamente, ya que

$$\lvert p(p^{1+s}-p^{-(1+s)})\rvert = p^{1+\lvert\operatorname{Re} 1+s\rvert}\cdot \left\lvert 1- p^{-2\lvert \operatorname{Re} 1+s\rvert}\right\rvert.$$

Para $s = -1+it$ con $t\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ tenemos

$$p^{it} - p^{-it} = 2i\sin (t\log p),$$

y el término se convierte en

$$\frac{1}{ip\sin(t\log p)},$$

por lo que la serie ciertamente no converge cuando $t = \frac{k\pi}{\log p}$ para algunos $k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ y algún primo $p$ . Desde $\log p$ se hace arbitrariamente grande, estos puntos son densos en la línea $\operatorname{Re} s = -1$ . Es de esperar que la serie converja para no $s$ con $\operatorname{Re} s = -1$ pero no veo ninguna prueba.