¿Podríamos razonablemente clasificar grupos finitos?

Question

Por lo que he estado leyendo algunos de trabajar en $p$-grupos, y me di cuenta de una inquietante frase:

"No hay ninguna esperanza de encontrar un conjunto finito de invariantes que definen cada p-grupo de isomorfismo en una forma útil" (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1918951)

Se observó que el número de clases de isomorfismo de $p$-grupos crece increíblemente rápido. Por ejemplo, las clases de isomorfismo de grupos de orden $512$$10494213$.

Así que mi pregunta es esencialmente esto, ¿hay alguna creencia de que podría haber una razonable clasificación de los grupos finitos? Reconozco, que probablemente sería bastante voluminoso (cómo monstruoso el caso sencillo en el que se presenta es prueba de ello), pero ¿alguien piensa que un útil teorema de esta forma incluso podrían existir? Tal vez incluso el debilitamiento de isomorfismo para isoclinism o algún otro generalización de equivalencia? O es simplemente una tarea de Sísifo, o tal vez una tarea de la izquierda simplemente para los equipos?

Alguien tiene alguna opinión sobre este punto?

Answer 1

Yo no soy un experto en grupos finitos, pero aquí está mi comprensión de este problema:

1. El primer ingrediente es una clasificación de los finitos simples grupos, cuya prueba requiere de miles de páginas.

2. Ahora, supongamos que vamos a clasificar arbitrarias de grupos finitos por inducción sobre su pedido a través de la disposición finitos simples grupos de clasificación. Escoge un finito no-simple grupo de $G=G_0$. A continuación, se admite una normal y adecuada de los subgrupos $G_1$, es decir, tenemos una secuencia exacta: $$ 1\a G_1\a G_0\a G_2\a 1 $$ La elección de $G_1$ no es canónica, pero, al menos, las órdenes de $G_1$ $G_2$ son más pequeñas que la de $G_0$, por lo que "ya clasificados". El problema se hace, cómo clasificar las extensiones (es decir, a corto exacta de las secuencias de arriba) cada uno de los grupos $G_1$$G_2$. Cada extensión está determinada por los siguientes datos:

(a) Un homomorphism
$$\phi: G_2\to Out(G_1)=Aut(G_1)/Inn(G_1)$$ donde $Inn$ es el grupo de interior automorfismos,

(b) Un elemento de la 2ª "nonabelian cohomology" $H^2(G_2; (G_1)_{\phi})$ $G_2$ con coeficientes en $G_1$, la "extensión de la clase".

A continuación es una discusión más detallada de $H^2(G_2; (G_1)_{\phi})$ siguiente sección IV.6 en K. Brown "Cohomology de grupos" en línea con Steve D comentarios. Hay dos casos que pueden suceder:

(i) $H^2(G_2; (G_1)_{\phi})$ es no vacío. Luego de este conjunto es un torsor, es decir, se admite un (natural) simplemente-transitiva de la acción de grupo abelian $H^2(G_2; C_{\phi})$ donde $C$ es el centro de la $G_1$ (de un número finito de grupo abelian); la homomorphism $\phi$ determina una acción de $G$$C$: Dicha acción es necesaria a fin de definir cohomology grupos.

(ii) $H^2(G_2; (G_1)_{\phi})$ está vacía. Esto sucede si y sólo si un cierto elemento de $H^3(G_2, C_{\phi})$ (de los cuales uno puede leer en $\phi$) no se anula.

Usted puede encontrar una discusión detallada de la cohomology de grupos en Ken Brown del libro.

Todo esto se ve muy bueno ya que hay muchas herramientas para el cálculo de cohomology de grupos finitos. Aquí, sin embargo, es una complicación adicional: Diferentes extensiones de $G_2$ $G_1$ puede, en principio, el rendimiento isomorfo grupos $G_2$! Haciendo caso omiso de esta complicación, la clasificación de los grupos finitos se reduce a (1) la clasificación de los finitos simples grupos y (2) repetir los cálculos de ciertos 2º cohomology grupos y ciertos elementos de la 3ª cohomology grupos.