Conjunto no vacío asignado a $\emptyset$ y viceversa

Question

$(a)$ Cuántas funciones hay a partir de un conjunto no vacío $S$ i $\emptyset$ ?

$(b)$ ¿Cuántas funciones hay de $\emptyset$ i arbitrario $S$ ?

Esta pregunta parece muy simplista, pero no sé la respuesta. Creo que para $(a)$ que no hay una función que mapee un conjunto $S$ en un conjunto vacío? Para $(b)$ Supongo que se trata de todas las funciones que asignan el conjunto vacío a un conjunto arbitrario, ya que todos los conjuntos contienen el conjunto vacío.

Answer 1

Una función de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ es un subconjunto de $A\times B$ que cumpla ciertas condiciones, una de las cuales es que su dominio sea $A$ . Si $A$ o $B$ está vacía, $A\times B=\varnothing$ y $\varnothing$ es, por tanto, el único subconjunto de $A\times B$ . Si $A\ne\varnothing$ , $\varnothing$ no es una función con dominio $A$ Así que tienes razón sobre $(a)$ : no existen tales funciones. Si $A=\varnothing$ Sin embargo, es otra historia. El dominio de la función $\varnothing$ es $\{a:\langle a,b\rangle\in\varnothing\}$ ¿Cuál es...?

Answer 2

SUGERENCIA: Recordemos que una función de $A$ à $B$ es un subconjunto de $A\times B$ cuyo dominio es igual a $A$ .