Es bien sabido que las fdp normales bivariantes pueden escribirse en términos de fdp univariantes: $$ \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{(\xi_1^2+\xi_2^2-2\rho \xi_1\xi_2)}{2(1-\rho^2)}\right)=\frac{1}{\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\phi\left(\frac{\xi_1-\rho\xi_2}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)\phi\left(\xi_2\right) $$ ¿Existe un resultado similar para la distribución t de Student bivariante, es decir, puede escribirse una distribución t de Student bivariante en términos de densidades t de Student univariantes?
Respuesta
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Hay un error en las expresiones del pdf normal bivariante descomposición. Como resultado general, la distribución condicional de la primera componente de un vector bivariante Normal dada la segunda componente es $$X_1\mid X_2=\xi_2 \ \sim\ \mathcal{N}\left(\mu_1+\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\rho(\xi_2 - \mu_2),\, (1-\rho^2)\sigma_1^2\right).$$ Por lo tanto, suponiendo $\mu_1=\mu_2=0$ El densidad condicional de $X_1$ dado $X_2=\xi_2$ es $$\frac{1}{\sigma_1\sqrt{1-\rho^2}}\,\phi\left(\frac{(\xi_1-\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\rho\xi_2)^2}{\sigma_1\sqrt{1-\rho^2}}\right)$$ y el la igualdad debe ser \begin{align}\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{\sigma_1^{-2}\xi_1^2+\sigma_2^{-2}\xi_2^2-2\rho \xi_1\xi_2/\sigma_1\sigma_2}{2}\right)\\=\frac{1}{\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\phi\left(\frac{(\xi_1-\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\rho\xi_2)^2}{\sigma_1\sqrt{1-\rho^2}}\right)\phi\left(\xi_2/\sigma_2\right)\end{align} con $\phi(\cdot)$ que denota la pdf Normal estándar.
Lectura este documento si $(\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2)$ se distribuye a partir de un $p$ dimensional multivariante de Student $\mathfrak{t}$ distribución $\mathfrak{t}_{p}(\nu,\boldsymbol\mu,\boldsymbol\Sigma)$ [LaTeX copiado de [Wikipedia]](https://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_t-distribution) $$ \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+p}{2}\right)}{(\nu\pi)^{\frac{p}{2}}\Gamma(\frac{\nu}{2})\left|{\boldsymbol\Sigma}\right|^{1/2}}\left[1+\frac{1}{\nu}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^{\rm T}{\boldsymbol\Sigma}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})\right]^{-\frac{\nu+p}{2}} $$ entonces tanto la distribución marginal como la condicional de $\boldsymbol X_1$ dado $\boldsymbol X_2$ también son $p_1$ dimensional multivariante de Student $\mathfrak{t}$ distribuciones: $$\boldsymbol X_1 \sim \mathfrak{t}_{p_1}(\nu,\boldsymbol\mu_1,\boldsymbol\Sigma_{11})$$ y \begin{align}\boldsymbol X_1|\boldsymbol X_2 \sim \mathfrak{t}_{p_1}\big(&\nu+p_2,\boldsymbol\mu_1+\boldsymbol\Sigma_{12}\boldsymbol\Sigma^{-1}_{22}(\boldsymbol X_2−\boldsymbol \mu_2),\\&\dfrac{\nu+(\boldsymbol X_2-\boldsymbol\mu_2)^\text{T}\boldsymbol \Sigma^{−1}_{22}(\boldsymbol X_2-\boldsymbol\mu_2)}{\nu+p_2}\boldsymbol \Sigma_{11|2}\Big) \end{align} donde $$\boldsymbol \Sigma_{11|2}=\boldsymbol \Sigma_{11}−\boldsymbol \Sigma_{21}\boldsymbol \Sigma^{−1}_{22}\boldsymbol \Sigma_{12}$$ Esto se demuestra fácilmente utilizando la desmarginalización de la prueba de Student $\mathfrak{t}$ como una mezcla de una variante Normal con una variante chi-cuadrado: $$\boldsymbol X|q\sim\mathcal N_p(\boldsymbol\mu,\boldsymbol\Sigma/q),\qquad q\sim\chi^2_\nu/\nu$$
