Utiliza la transformada de Laplace para hallar la función de Green

Question

Intento resolver la EDP $$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial u}{\partial t}\hspace{10pt}-\infty<x<\infty, \hspace{5pt} t>0$$ sujeta a las condiciones iniciales $$u(x,0)=f(x), \hspace{5pt}u(x,t)\text{ bounded}$$ y obtendrá una respuesta de la forma $$u(x,t)=\int_{-\infty}^\infty K(|x-\xi|,t)f(\xi)d\xi.$$

Ya he demostrado que la transformada de Laplace de $$\frac{e^{-a^2/4t}}{\sqrt{\pi t}}$$ es $$s^{-1/2}e^{-|a|\sqrt{s}}$$ y luego transformo la EDP con respecto a $t$ para obtener $$y''(x)-sy(x)+f(x)=0$$ que me dan tiene solución particular $$y(x,s)=\frac{e^{-x\sqrt{s}}}{2\sqrt{s}}\int_0^xe^{\xi \sqrt{s}}{f(\xi)d\xi}-\frac{e^{x\sqrt{s}}}{2\sqrt{s}}\int_0^xe^{-\xi \sqrt{s}}{f(\xi)d\xi}$$ y encontré la solución homogénea acotada como $Ae^{-|x|\sqrt{s}}$ por lo que la solución general es de la forma $$g(x,s)=Ae^{-|x|\sqrt{s}}+By(x,s).$$

Aquí es donde estoy atascado. En primer lugar, no puedo utilizar mi conocida transformada de Laplace en $y(x,s)$ ya que depende del signo de $x-\xi$ (mientras que la conocida transformada de Laplace sólo depende del valor absoluto). Aunque pueda invertir la transformada de Laplace $y(x)$ no veo cómo conseguir que la solución homogénea esté dentro de una integral con $f(\xi)$ . También existe el problema de que los límites integrales son de $-\infty$ a $\infty$ en la solución y sólo de $0$ a $x$ en la solución particular, pero creo que esto podría resolverse si encuentro la manera de incluir la solución homogénea.

Espero alguna pista sobre cómo proceder, o alguna intuición sobre lo que ocurre en esta pregunta.

Answer 1

Supongo que su solución particular puede ajustarse para satisfacer todos los requisitos. $$y(x,s)=\frac{e^{-x\sqrt{s}}}{2\sqrt{s}}\int_0^xe^{\xi \sqrt{s}}{f(\xi)d\xi}-\frac{e^{x\sqrt{s}}}{2\sqrt{s}}\int_0^xe^{-\xi \sqrt{s}}{f(\xi)d\xi}$$ no es perfecto por dos razones:

1. No incluye el valor de la función $f(x)$ por negativo $x$ (aunque, $x<0$ también debería contribuir, porque la función es finita, pero definida para todo $x\in R$ )
2. en $x=0$ $\,\,y(o,s)=0\,$ para todos $s\,$ - lo que no puede ser cierto.

Por lo tanto, tomemos $$y(x,s)=\frac{e^{-x\sqrt{s}}}{2\sqrt{s}}\int_{-\infty}^xe^{\xi \sqrt{s}}{f(\xi)d\xi}+\frac{e^{x\sqrt{s}}}{2\sqrt{s}}\int_x^\infty e^{-\xi \sqrt{s}}{f(\xi)d\xi}$$

Se puede comprobar que ésta es también una solución particular de la ecuación y que $\neq0$ à $x=0$ .

Ahora puedes encontrar una solución general, haciendo la transformación inversa o utilizando la transformada de Laplace hallada de la función $\frac{e^{-a^2/4t}}{\sqrt{\pi t}}$ . Para ambos términos se obtiene un signo a la derecha (negativo).

$$y(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{|\xi-x|^2}{4t}}f(\xi)d\xi+\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{x}^\infty e^{-\frac{|x-\xi|^2}{4t}}f(\xi)d\xi=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{|\xi-x|^2}{4t}}f(\xi)d\xi$$

En $t\to0$ $K(|x-\xi|,t)\to\delta (x-\xi)$ integrando se obtiene $y(x,t=0)=f(x)$ según sea necesario.