Hallar la ecuación de la normal a la curva con la ecuación $y=x^3 + 1$ en el punto $(1,2)$

Question

Tengo problemas para resolver esto:

Hallar la ecuación de la normal a la curva con la ecuación $y=x^3 + 1$ en el punto $(1,2)$ .

Answer 1

La recta normal se define como la recta perpendicular a la recta tangente de la curva en ese punto. Sabiendo esto podemos evaluar la pendiente de la recta normal de esta curva (o en general), por

$m_{normal}=-\frac{1}{f'(x)}$

Dónde $f(x)$ es nuestra función en cuestión. En este caso, $y=x^3+1$ .

La pendiente o la derivada en este punto es la derivada evaluada en $x=1$ . Porque $f'(x)=3x^2$ , $f'(1)=3$ .

La pendiente de la recta normal es entonces $-\frac13$ .

Recordemos que para hallar la ecuación de una recta hormiga dados un punto y una pendiente, podemos utilizar la fórmula punto pendiente. (En realidad, podemos utilizar cualquier forma de ecuación lineal y resolver en consecuencia). La pendiente puntual es $$y-y_{point}=m_{slope}(x-x_{point})$$

Como la recta normal también corta a la tangente que corta a la curva en $(1,2)$ podemos utilizar el punto $(1,2)$ y la pendiente de la normal para obtener la siguiente recta tangente:

$$y-2=-\frac13(x-1)$$ O $$y=-\frac13x+\frac73$$