Cómo hallar el número de soluciones de una ecuación con 2 variables

Question

Supongamos que tenemos una ecuación $2a + 3b = n$ tal que $a$ y $b$ son enteros no negativos. ¿Cómo hallarías el número de soluciones?

Answer 1

Podemos decir que las soluciones son: $(-n+3k,n-2k)$ . Ahora las soluciones deben ser positivas: $k<2n/3$ y $n/3<k$ . Esto cede: $$n/3<k<2n/3$$ El número de soluciones es: $$N_n = \left \lfloor n/3 \right \rfloor$$

Answer 2

Dividamos en casos.
Caso 1: $n = 2k$
Proposición: Existen $\lfloor \frac{k}{3} \rfloor + 1$ soluciones.

Caso 2: $n = 2k + 1$
Proposición: Existen $\lfloor \frac{k-1}{3} \rfloor + 1$ soluciones.

$\underline{\text{Proof:}}$ Para el caso par, la prueba funciona como sigue:
$b$ debe ser par, por lo que se podría escribir la ecuación como $2a+6b'=2k$ .
Ahora $b'$ puede obtener cualquier valor entero entre $[0,\lfloor \frac{k}{3}\rfloor]\implies b'\ $ tienen $\lfloor \frac{k}{3}\rfloor + 1$ opciones, donde cada una de ellas determina $a$ únicamente.