¿Todos los grupos actúan fielmente sobre algún grupo?

Question

El Teorema de Cayley demuestra que todo grupo actúa fielmente sobre algunos puesto. En otras palabras, se puede encontrar un homomorfismo de grupo inyectivo $\sigma: G\to S_{A}$ donde $S$ es el conjunto de todas las biyecciones sobre algún conjunto $A$ .

¿Podemos demostrar que todos los grupos algunos ¿Grupo? En otras palabras, dado un grupo $G$ ¿existe un homomorfismo de grupo inyectivo $\sigma: G\to\operatorname{Aut}(H)$ para algún grupo $H$ . Aquí $\operatorname{Aut}(H)$ es el grupo de todos los isomorfismos (de grupo) en $H$ .

Respuesta parcial: En $G$ tiene centro trivial, consideremos el mapa de conjugación $\sigma: G\to\operatorname{Aut}(G)$ definido por $\sigma(g): G\to G$ donde $\sigma(g) (a) = g a g^{-1}$ . Es fácil ver que $\sigma$ es inyectiva.

¿Y cuando $G$ hace no tener un centro trivial?

Answer 1

El primer ejemplo que me viene a la mente es $\mathbb{Z}[G]$ el grupo abeliano libre generado por los símbolos $[g]$ para $g \in G$ .

La acción de $G$ en $\mathbb{Z}[G]$ es inducida por $g[h] = [gh]$ y es fiel.

(de hecho, podemos dar $\mathbb{Z}[G]$ una estructura anular, definiendo $[g][h] = [gh]$ )

Answer 2

Creo que he encontrado una respuesta a mi propia pregunta, pero no estoy muy seguro:

Usa el Teorema de Cayley para encontrar un homomorfismo de grupo inyectivo $\sigma: G\to S_{A}$ donde $S_{A}$ es un grupo simétrico sobre un conjunto $A$ . Podemos suponer $|A|\geq 3$ . Desde $S_{A}$ tiene un centro trivial ( prueba aquí ), la acción de conjugación da un homomorfismo de grupo inyectivo $\phi: S_{A}\to\operatorname{Aut}(S_{A})$ .

La composición $\phi\circ\sigma: G\to\operatorname{Aut}(S_{A})$ es un homomorfismo de grupo inyectivo.

Answer 3

Sí, $F_G$ el grupo libre (no abeliano), funcionaría como el grupo en el que $G$ actúa. (Su grupo de automorfismo contiene al grupo simétrico $S_G$ como subgrupo, y cualquiera de esos grupos funcionaría).

---

Edita:

Todo grupo actúa fielmente sobre sí mismo por multiplicación por la izquierda. Pero como el comentario del OP muestra a continuación, eso no es lo que su pregunta resaltada pide.

En referencia a las acciones simples (de conjunto), observe que los axiomas de las acciones de grupo no suponen ninguna estructura en el conjunto. Así, si $G$ actúa sobre un conjunto $X$ fielmente, basta con poner cualquier estructura de grupo en $X$ y ahora tenemos $G$ actuar fielmente en un grupo.

Answer 4

Tu idea de utilizar grupos con centro no trivial puede ampliarse: Simplemente incrusta tu grupo dado $G$ en un grupo con centro trivial, y utilizar el mismo mapa que usted da. Por ejemplo, tome el producto gratuito de $G$ con el grupo cíclico infinito $H=G\ast\mathbb{Z}$ entonces $G$ actúa fielmente $\gamma_g:w\mapsto gwg^{-1}$ .

Obsérvese que esta idea conserva ciertas propiedades de finitud del grupo $G$ como el grupo $H$ es finitamente presentable (finitamente generado) si $G$ es finitamente presentable (finitamente generada). En las otras respuestas, los grupos $F_G$ y $S_G$ se generan finitamente si y sólo si $G$ es finito.