Calcular la probabilidad $P(\max(X,Y)>2)$

Question

Sea $X$ y $Y$ sea una variable aleatoria uniformemente distribuida en los intervalos $[0,4]$ y $[0,3]$ respectivamente. Si $X$ y $Y$ son sucesos independientes, calcule la probabilidad, $P(\max(X,Y)>2)$ .

Answer 1

Sugerencia

$$\Pr\{\max[X,Y]>2\}=1-\Pr\{\max[X,Y]\le 2\}=1-\Pr\{X\le2,y\le2\}$$

Answer 2

$$P(\max(X,Y)>2)=P(X>2\cap X\ge Y)+P(Y>2\cap X<Y)$$

Las probabilidades restantes son fáciles de calcular si se dibuja un gráfico de la PDF conjunta, que es

$$P(X=x,Y=y)=\begin{cases}\frac1{12}&\text{for }(x,y)\in[0,4]\times[0,3]\\[1ex]0&\text{otherwise}\end{cases}$$

Entonces

$$P(X>2\cap X\ge Y)=\int_2^3\int_0^x\frac{\mathrm dy\,\mathrm dx}{12}+\int_3^4\int_0^3\frac{\mathrm dx\,\mathrm dy}{12}=\frac{11}{24}$$

$$P(Y>2\cap X<Y)=\int_2^3\int_0^y\frac{\mathrm dx\,\mathrm dy}{12}=\frac5{24}$$

que son las integrales de la PDF conjunta sobre las regiones naranja y verde de abajo, respectivamente. (La línea discontinua es $Y=X$ . La región en azul es el resto del soporte de la densidad conjunta. En el resto, la probabilidad es $0$ .) La probabilidad total es entonces $\frac23$ .

Answer 3

Quizá la forma más rápida de hacerlo sea hallar la probabilidad de que ambos sean menores que $2,$ y luego restarlo de $1.$ $$ \Pr(X<2\ \&\ Y<2) = \Pr(X<2)\Pr(Y<2) = \frac 2 4\cdot \frac 2 3 = \frac 1 3. $$ Por lo tanto, la probabilidad de que al menos uno de ellos sea mayor que $2$ es $2/3.$