A partir de su pregunta
Dado que la velocidad del objetivo es "u" y la tasa de aceleración del misil es "a", ¿cuál es la fórmula para calcular la dirección en la que debe orientarse el misil para interceptar el objetivo?
Deduzco que estás analizando un simple problema de movimiento rectilíneo tanto para el blanco como para el misil. Este problema sería (mucho) más complicado de analizar si el misil siguiera una trayectoria en la que siempre se dirigiera hacia el objetivo. Sería una forma de radiodromo (curva de persecución).
Dado que el objetivo se mueve en línea recta, podemos orientar nuestro sistema de coordenadas de forma que el objetivo se mueva a lo largo de uno de los ejes. Sea $\vec{r}_m(t)$ y $\vec{r}_t(t)$ la posición del misil y del objetivo en el momento $t$ donde
$$\vec{r}_m(0) = \vec{0} \qquad \text{and} \qquad \vec{r}_t(t) = \vec{r}_t(0) + (v_t t) \hat{k} = x_0 \hat{\imath} + y_0 \hat{\jmath} + (z_0 + v_t t) \hat{k}$$
El problema es encontrar un ángulo para $\vec{r}_m$ vector tal que el misil y el objetivo se encuentren en el momento $t_0$ .
La distancia del misil y del objetivo desde el origen en el momento $t$ es
$$|\vec{r}_m(t)| = \frac{1}{2} a t^2 \quad \text{and} \quad |\vec{r}_t(t)| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 + (z_0 + v_t t)^2} = \sqrt{d_0^2 + (2 z_0 + v_t t) (v_t t)}$$
donde se supone que el misil parte del reposo, y $d_0^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2$ es la distancia inicial entre el misil y el objetivo.
En el momento $t = t_0$ el misil y el objetivo se encuentran, lo que significa $\vec{r}_m(t_0) = \vec{r}_t(t_0)$ y
$$|\vec{r}_m(t_0)| = |\vec{r}_t(t_0)| \quad \rightarrow \quad \frac{a^2}{4} t_0^4 - v_t^2 t_0^2 - 2 z_0 v_t t_0 - d_0^2 = 0$$
Resuelve la ecuación cuártica anterior para obtener $t_0$ y luego encontrar los tres (o dos) ángulos de la $\vec{r}_t(t_0)$ vector. El misil tiene que ser lanzado exactamente en estos ángulos.
