Cálculo del 8º momento de una variable aleatoria exponencial

Question

Sea $X$ sea una variable aleatoria con distribución exponencial y parámetro $\beta$ . Calcule $E(X^8)$ . Muestra tu trabajo.

Me estoy preparando para un examen final, y actualmente intento averiguar si mi solución a esta pregunta es correcta, agradecería enormemente cualquier aportación. A continuación se muestra lo que he intentado:

Dado que la distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma con $\alpha=1$ podemos escribir derivar el caso general $E(X^{k})$ :

$\int_0^{\infty}\frac{x^{k}\cdot x^{\alpha-1} \cdot e^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^{\alpha}} dx$ = $\int_0^{\infty}\frac{x^{k+\alpha-1} \cdot e^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^{\alpha}} dx$

Ahora queremos manipular la expresión dentro de la integral para obtener un área igual a uno. Hacemos lo siguiente:

$\int_0^{\infty}\frac{x^{k+\alpha-1} \cdot e^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha) \cdot \beta^{\alpha}} dx$ = $\frac{\Gamma(\alpha + k) \cdot \beta^{k}}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty}\frac{x^{k+\alpha-1} \cdot e^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha + k) \cdot \beta^{\alpha + k}} dx$

Como el área dentro de la integral es igual a uno, llegamos a:

$E(X^{k}) = \frac{\Gamma(\alpha + k) \cdot \beta^{k}}{\Gamma(\alpha)}$

Con este resultado, probamos ahora $E(X^8)$ :

$E(X^8) = \frac{\Gamma(\alpha + 8) \cdot \beta^{8}}{\Gamma(\alpha)} = \frac{\Gamma(9)\beta^{8}}{(0)!} = (8!) \beta^{8}$ .

No estoy seguro de haber realizado bien esta última parte. ¿Hay otra forma de enfocar esto?

Answer 1

Su solución es correcta y válida.

Formas alternativas de hacerlo: observe que la MGF de una distribución exponencial con escala parámetro $\beta$ (tal como lo ha definido en su pregunta) es $$M_X(t) = \operatorname{E}[e^{tX}] = \int_{x=0}^\infty e^{tx} \frac{e^{-x/\beta}}{\beta} \, dx = \frac{1}{\beta} \int_{x=0}^\infty e^{-x(\beta^{-1} - t)} \, dx = \frac{1}{1 - \beta t} \int_{x=0}^\infty \frac{e^{-x(\beta^{-1} - t)}}{(\beta^{-1} - t)^{-1}} \, dx = (1 - \beta t)^{-1},$$ sobre un dominio para $t$ para la que la integral es convergente. Entonces $$\operatorname{E}[X^k] = \left[ \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right]_{t=0} = \left[ k! (1-\beta t)^{-k-1} \beta^k \right]_{t=0} = k! \beta^k.$$

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Otra forma: reconocer que $X = \beta Y$ para $Y \sim \operatorname{Exponential}(1)$ de modo que $$X^k = \beta^k Y,$$ y ahora es mucho más fácil realizar la integración directamente: $$\operatorname{E}[Y^k] = \int_{y=0}^\infty y^k e^{-y} \, dy \equiv \Gamma(k+1) = k!,$$ ya que el resultado se deduce de la definición de la función gamma.

Answer 2

En su lugar, se puede observar que la función generadora de momentos es

$M(t) = (1 - \beta t)^{-1}$ .

Tomando las derivadas sucesivamente, verás un patrón:

$M'(t) = \beta (1 - \beta t)^{-2}$

$M''(t) = 2 \beta^2 (1 - \beta t)^{-3}$

$\vdots$

$M^(8) (t) = 8! \beta^8 (1 - \beta t)^{-9}$

Evaluar en $t=0$ se recupera el valor $E(X^8) = 8! \beta^8$ .