He estado intentando encontrar la derivada de Fréchet de la siguiente función: $\psi(x) = \frac{1}{\left \| x \right \|^p}Ax$ $(x \in \mathbb{R}^n, A \in\mathbb{R^{m \times n}})$ . Una posibilidad sería utilizar la derivada de operadores continuos y bilineales sobre Espacios de Banach, por lo que en este caso si podríamos establecer $\psi(x)=B(f(x),g(x))$ mientras que $f:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto\frac{1}{\left \| x \right \|^p}$ y $g:\mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^m}, x \mapsto Ax $ . Y $B:(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^m) \simeq \mathbb{R}^{m+1} \rightarrow \mathbb{R}^m ,B(x,y)=xy$ $$$$ La fórmula a la que he llegado es la siguiente ( $Df$ es la derivada total de $f$ ): $$D\psi(x)=g(x)Df(x)+f(x)Dg(x)$$ Pero entonces el artículo de wikipedia sobre la regla del producto afirma que: $$D(f \cdot g)=Df \cdot g+f \cdot Dg(x) ("." \text{represents scalar multiplication})$$ que es diferente como $Df$ y $g$ no se desplacen. He comprobado las dimensiones de los objetos que estoy usando para ver dónde está la diferencia, y de hecho he descubierto que usando el artículo de la Wikipedia las dimensiones de la multiplicación de matrices no coinciden. ¿Alguien ve si hay un error en mi razonamiento, y si es así dónde?
Por cierto, busco una respuesta que NO utilice derivadas parciales. Por supuesto que puedo resolver este problema utilizándolas, pero estoy buscando un enfoque más general que no se base únicamente en cálculos pesados.
