Suponga que tiene un gráfico con un partición equitativa con respecto a las células $V_1,\ldots,V_n$ . En consecuencia, se puede tomar el valor medio celular de una función en el conjunto de nodos, es decir, la proyección del espacio de nodos sobre el susbpacio de funciones constantes celulares. Llamemos $P$ este proyector.
Entonces, es bien sabido (véase, por ejemplo, el libro de Bollobas, Prop. VIII.3.15; o el libro de Brouwer-Haemer, §2.3) que existe una matriz $C$ tal que $P$ se entrelaza con $A$ y $C$ es decir, $AP=PC$ donde $A$ es la matriz de adyacencia del grafo; de hecho, $C$ puede investigarse como la matriz de adyacencia de un cierto grafo auxiliar "cociente", con ciertas conexiones agradables entre los espectros de $A$ y $C$ .
Ahora, lo que me gustaría saber es qué pasa si consideramos $(I-P)$ en lugar de $P$ o, si se prefiere, el proyector sobre el espacio nulo de $P$ en lugar de su alcance. ¿Existe una matriz $D$ tal que $(I-P)$ se entrelaza con $A$ y $D$ ? ¿Puede $D$ interpretarse como la matriz de adyacencia de un determinado grafo auxiliar?
(Si es necesario, en la pregunta anterior puedes sustituir gustosamente la matriz de adyacencia por el laplaciano discreto, el laplaciano normalizado o el laplaciano sin signo).
