Cómo demostrar que el disco de Poincaré es hiperbólico para algunas $\delta$

Question

Estoy tratando de demostrar que el disco de Poincaré, $\mathbb{D}$ es $\delta$ -hiperbólica con respecto a la definición de triángulo delgado para la hiperbolicidad. Hace tiempo que no sé por dónde empezar, sobre todo en lo que respecta a los triángulos ideales.

Intento hacerlo desde el punto de vista de la Teoría Geométrica de Grupos, ya que no estoy lo suficientemente familiarizado con la topología como para utilizar esas herramientas.

Muchas gracias

Answer 1

El grupo isométrico que preserva la orientación es $PSL(2,R)$ y actúa transitivamente sobre los triples de puntos pares distintos de la frontera ideal, es decir, sobre el conjunto de triángulos ideales no degenerados. En otras palabras: todos los triángulos ideales son isométricos. Por tanto, basta con calcular $\delta$ para un triángulo ideal. Obtendrá $\delta=\log(\sqrt{2}+1)$ .

Entonces todavía tienes que demostrar que esto implica la misma estimación para triángulos no ideales.

Answer 2

Una forma de hacerlo es empezar demostrando que el área de cualquier triángulo geodésico es menor que $\pi$ (en realidad la zona es exactamente $\pi-\alpha-\beta-\gamma$ donde $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ son los ángulos en los vértices).

Entonces se puede concluir por contradicción lo siguiente: supongamos que no hay $\delta$ obras. Entonces para cada número real positivo $R$ puedes encontrar un triángulo geodésico $T_R$ que no es $R$ -delgado. Esto implica la existencia de un punto en una arista tal que el disco de radio $R$ no se encuentra con los otros dos lados. Por tanto, la mitad de este disco está en el interior del triángulo. De esto se deduce fácilmente que el volumen del triángulo debe tener un área mayor que la mitad del volumen del disco. Por tanto, para $R$ suficientemente grande obtendríamos un triángulo geodésico con área mayor que $\pi$ lo cual es absurdo.