Resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden numéricamente con valores dados en puntos intermedios.

Question

Necesito resolver numéricamente la ecuación, \begin{equation} y''(x) + p(x)y(x) = 1 \end{equation}

en el rango [a,b]

con condiciones \begin{eqnarray} y'(\alpha) &=& 1\\ y(\beta) &=& 0 \hspace{1cm} a <\alpha < \beta <b \end{eqnarray}

si se dieran las condiciones para cualquiera de los puntos finales, es decir \begin{eqnarray} y'(a) &=& 1\\ y(a) &=& 0 \end{eqnarray}

Puedo encontrar $y(a+\Delta x)$ utilizando estas condiciones y el resto de la solución puede a partir de la discretización, \begin{eqnarray} \frac{y(x+\Delta x) - 2y(x) + y(x-\Delta x)}{\Delta x^2} + p(x)y(x) = 1 \end{eqnarray}

Pero si se conocen los valores iniciales/derivados en diferentes puntos (que no son sucesivos en la discretización), ¿cómo puedo proceder?

Answer 1

Creo que se puede proceder de dos maneras diferentes:

• Resolver el problema en la cuadrícula correspondiente a $x\in [\alpha,\beta]$ y luego resolver los dos problemas de valor inicial dados por: $$y_L''+p(x) y_L=1, \quad a < x < \alpha, \quad y_L(\alpha) = y(\alpha), \quad y_L'(\alpha) = y_L(\alpha) \tag{1}$$ $$y_R''+p(x) y_R=1, \quad \beta < x < b, \quad y_R(\beta) = y(\beta), \quad y_R'(\beta) = y_R(\beta) \tag{2}$$ en diferentes cuadrículas adecuadas. Obsérvese que el problema para $y_L$ retrocede y el cambio de variable $z \equiv \alpha -x$ puede solucionar este problema. Además, tenga en cuenta que $(1)$ y $(2)$ son problemas de valor inicial para los que puede o no utilizar otro método numérico para resolverlos.

• La otra opción sería, siempre que adaptes tu malla de forma que $\alpha$ y $\beta$ son nodos de la malla, para sustituir las condiciones de contorno discretizadas en $x=\alpha$ y $\beta$ mientras que $y_0$ y $y_{N}$ (primer y último valor de $y_j \approx y(x_j)$ ) sigue siendo desconocido (creo que este enfoque es un poco más tedioso).

Espero que esto ayude.

¡Salud!