Convolución de dos sumas (transformada de Fourier)

Question

Esta pregunta procede del libro "Advanced Engineering Mathematics" de Stroud.

No consigo obtener la respuesta requerida para esto. He derivado las dos ecuaciones de la transformada de Fourier para ellos.

.

U y V son variables ficticias.

Me han dicho que tengo que utilizar el teorema de convolución multiplicando las funciones en el dominio de la frecuencia y hallando la transformada inversa de la solución, pero no sé cómo proceder con las ecuaciones que tengo.

Answer 1

La transformada de Fourier es un operador lineal, por lo que

$$ F_1(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \mathcal{F}(e^{jn\omega_0 t}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \delta( \omega-n\omega_0) $$

Utiliza lo anterior para multiplicar las dos transformadas de Fourier. A continuación, ver si se puede tomar la transformada inversa para terminar la prueba.

EDITAR :

Para ver cómo hallar el producto de las dos sumas observa que

$$ \delta( \omega - n \omega_0) \cdot \delta( \omega - m \omega_0) \neq 0 \Leftrightarrow n = m. $$

Además,

$$ m=n \Rightarrow \delta( \omega - n \omega_0) \cdot \delta( \omega - m \omega_0) = \delta( \omega - n \omega_0) = \delta( \omega - m \omega_0). $$

Así,

$$ d_m \delta( \omega - m\omega_0) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \delta( \omega-n\omega_0) = d_m \delta( \omega - m\omega_0) \cdot c_m \delta( \omega - m\omega_0) = d_m c_m \delta( \omega - m\omega_0) $$

EDITAR 2 :

Sabemos que

$$ F_1(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \delta( \omega-n\omega_0) $$

$$ F_2(\omega) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} d_m \delta( \omega-m\omega_0) $$

Su producto es entonces

$$ F_1 (\omega) F_2 (\omega) = \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \delta( \omega-n\omega_0) \right) \left( \sum_{m=-\infty}^{\infty} d_m \delta( \omega-m\omega_0) \right) $$

Por la definición de la función delta de Dirac, sabemos que

$$ \delta(\omega - a) \cdot \delta( \omega - b) = \left\{ \begin{array}{lr} \delta(x-a), & a = b \\ 0, & a \neq b \end{array} \right. $$

Así, si consideramos un término individual de la serie $F_1 (\omega)$ arreglando $n$ y tomar su producto con $F_2(\omega)$ obtenemos

$$ c_n \delta(\omega - n\omega_0) \left( \sum_{m=-\infty}^{\infty} d_m \delta( \omega-m \omega_0) \right) = c_n d_n \delta(\omega - n\omega_0). $$

Dado que esto es cierto para todos $n$ tenemos que

$$ F_1 (\omega) F_2 (\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n d_n \delta( \omega-n \omega_0). $$