Estoy tratando de trabajar a través de Irlanda y Rosen, es Un Clásico de Introducción a la Moderna Teoría de números , como he oído cosas buenas sobre él. Este es el Ejercicio 12 del Capítulo 2. Aquí $\mu$ es la función de Moebius, y $\phi$ el totient función.
Encontrar fórmulas para $\sum_{d|n}\mu(d)\phi(d)$, $\sum_{d|n}\mu(d)^2\phi(d)^2$, y $\sum_{d|n}\mu(d)/\phi(d)$.
Jugando con la primera suma, sé que sólo puedo suma de todos los cuadrados libre de divisores $d$$n$, ya que de lo contrario $\mu(d)=0$. De que, si dejaba $\{p_1,\dots,p_m\}$ ser el de los números primos en la factorización de $n$, creo que el $\sum_{d|n}\mu(d)\phi(d)$ esencialmente resta $\phi(d)$ todos los $d$ un solo divisor primo de $n$, y, a continuación, agrega $\phi(d)$ todos los $d=p_ip_j$$i\lt j$, luego resta $\phi(d)$ para todos los $d=p_ip_jp_k$, $i\lt j\lt k$, etc., por último, agregar $(-1)^n\phi(d)$ $d=p_1\cdots p_n$ y un$1$$\mu(1)\phi(1)=1$.
Creo que el mismo análisis para el tercer suma se aplica, excepto que yo sería la adición o sustracción de $1/\phi(d)$ en cada sumando por encima de su lugar. Para la segunda suma, creo que sería casi idéntica a la de la primera suma, salvo que yo sería la adición de $\phi(d)^2$ para todas las posibles combinaciones de los diferentes números primos en la factorización de $n$.
No sé cómo expresar estas cantidades en un buen camino, como creo que los autores tienen la intención. Yo estaría muy agradecido por las sugerencias en la "agradable" formas de expresar estas, aunque bueno es un término subjetivo. Gracias.
