Homomorfismo entre números enteros y $(-1,1)$ bajo cualquier operación contiene un punto irracional

Question

Necesito probar que

Cualquier homomorfismo $h$ entre números enteros y $(-1,1)$ bajo cualquier operación contiene un punto irracional, es decir, existe un $k\in\mathbb Z$ tal que $h(k)$ es irracional.

Por ejemplo, consideremos el grupo $(-1,1)$ con la operación $a\oplus b=\dfrac{a+b}{1+ab}$ . No es difícil ver que $h:\mathbb Z\to(-1,1):=k\mapsto \tanh(k)$ es un homomorfismo de $\mathbb Z$ en adición regular a $(-1,1)$ en $\oplus$ y, claramente, $h(1)=\tanh(1)$ es irracional, por lo que hemos encontrado un punto irracional en el homomorfismo.

¿Es cierto para cualquier operación y homomorfismo?

Creo que el hecho de que $(-1,1)$ está acotado y los enteros no pueden jugar un papel en el argumento, pero no puedo ver cómo, cualquier ayuda sería apreciada. Gracias.

Answer 1

No es verdad. Hay una función uno a uno $f_1$ de $\mathbb Q \cap (-1,1)$ en $\mathbb Z$ (porque tienen la misma cardinalidad). Del mismo modo, existe una función unívoca $f_2$ de $(-1,1) \backslash \mathbb Q$ en $\mathbb R \backslash \mathbb Z$ . Júntalas para obtener una función uno a uno $f$ de $(-1,1)$ en $\mathbb R$ que mapea $\mathbb Q \cap (-1,1) \to \mathbb Z$ . Que la operación sobre $(-1,1)$ sea $\oplus$ definido en $$ x \oplus y = f^{-1}(f(x) + f(y))$$ Esto hace que $(-1,1)$ en un grupo y $f$ en un homomorfismo (de hecho, un isomorfismo). $h = f_1^{-1}$ es un homomorfismo de $\mathbb Z$ en $(-1,1)$ cuya imagen sólo contiene racionales.

Answer 2

Esto es falso. Para cualquier operación sobre $(-1,1)$ con una identidad racional (como la operación de ejemplo de su pregunta, que tiene $0$ como identidad), existe un homomorfismo que envía todos los valores de $\mathbb Z$ a esa identidad racional. Por lo tanto, ese homomorfismo no tiene puntos irracionales en su imagen.

Answer 3

Como decimos en matemáticas, la respuesta es trivialmente NO porque has permitido una total libertad conjunto-teórica de seleccionar $h$ . Usted puede conseguir fácilmente incluso un estrictamente creciente $\ h\ $ que puede interpretarse como un homomorfismo que sólo tiene valores racionales:

Definir biyecciones $\ H:\Bbb R\to(-1;1)\ $ y $\ F:(-1;1)\to\Bbb R\ $ -- cada uno inverso al otro -- como sigue,

$$ \forall_{x\in\Bbb R}\quad H(x)\ :=\ \frac x{1+|x|} $$

$$ \forall_{y\in(-1;1)}\quad F(y)\ :=\ \frac y{1-|y|} $$

Por último, defina la operación binaria $\ \#\ $ en $\ (-1;1)\ $ tomándolo prestado de $\ \Bbb R$ ,

$$ \forall_{a\ b\,\in(-1;1)}\quad a\,\#\,b\,\ :=\,\ H(F(a) + F(b)) $$

Así $\ \#\ $ es una operación de grupo tal que $\ H:\Bbb R\to(-1;1)\ $ y $\ F:(-1;1)\to\Bbb R\ $ son isomorfismos, cada uno inverso del otro.

Por último, defina $\ h:\Bbb Z\to(-1;1)\ $ como

$$ h\ :=\ H|\Bbb Z $$

Entonces $\ h\ $ es el homomorfismo (monomorfismo) requerido tal que

$$ \forall_{n\in\Bbb Z}\quad h(n)\in\Bbb Q.$$

¡Estupendo!