Permutaciones de palabras a partir de la palabra original.

Question

¿Cuántos arreglos distintos de 4 letras se pueden hacer con las letras de la palabra "PARALELO"?

Mi enfoque: Porque sólo estamos mirando cuántas permutaciones diferentes hay y no el frecuencia en el que existen estas permutaciones, podemos eliminar las letras repetidas y dejar sólo una. Esto nos deja con el siguiente conjunto de letras: $\{P, A, R, L, E\}$ Así que $5$ permute $4$ es $120$ . Fue entonces cuando me di cuenta de que al suprimir las repeticiones se eliminan palabras como $LLLE$ existir. En este momento, no sé cómo añadir estas posibilidades a mi planteamiento.

Agradecería ayuda, y como siempre, machacadme cada vez que veáis una metedura de pata típica mía.

Answer 1

Como puede ver, el planteamiento de casos puede ser bastante propenso a errores, especialmente para los problemas más complejos:

Un enfoque alternativo utilizando funciones generadoras es encontrar:

coeficiente de $x^4$ en $4!(1+x)^3(1+x+\frac{x^2}{2!})(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}) = 286$

Para una explicación detallada de por qué funciona, puede consultar este respuesta sobre MSE

Answer 2

Hay algunos casos:

1. Todos $4$ letras distintas. Hay $\binom{5}{4} = 5$ formas de elegir las letras y $4!$ formas de pedirlos.

2. Dos letras distintas, una letra repetida dos veces. O dos A o dos L. Si tenemos dos A, entonces tenemos $\binom{4}{2} = 6$ formas de elegir las otras letras. $4!$ formas de ordenarlos, pero dividir por $2!$ para explicar la letra duplicada. A continuación, vuelve a hacer lo mismo para el caso de la doble L.

3. Dos letras repetidas dos veces. Dos A, dos L. $4!$ formas de ordenar las letras, dividir por $2!2!$ para explicar las repeticiones.

4. Una letra sola, una letra repetida tres veces. Aquí sólo la L. Una vez que tenemos la triple L, hay $4$ opciones para la carta final. $4!$ formas de ordenar las letras, divididas por $3!$ para el triple L.

$$5 \cdot 4! + \frac{6 \cdot 4! \cdot 2}{2!} + \frac{4!}{2! \cdot 2!} + \frac{4 \cdot 4!}{3!} = 286$$

Answer 3

Ordenando las letras por orden alfabético se obtiene AA E LLL P R. En la palabra de cuatro letras puede haber

• sin repeticiones : esto se ha calculado en la pregunta, y hay 120 palabras de esta forma.
• dos de A, el resto distintos : Hay $\binom42=6$ formas de colocar las A, y 4 × 3 = 12 formas de colocar dos letras más en la palabra. Esto hace 72 maneras para este caso.
• dos de L, el resto distintos : tiene el mismo número de palabras que el caso anterior (72).
• dos de A y dos de L : De nuevo, 6 formas de colocar las A, pero entonces sólo hay una forma de colocar las L. Por lo tanto, 6 maneras.
• tres de L : hay $\binom43=4$ formas de colocar las L, y 4 posibilidades para la letra restante. Esto hace 16 maneras.

Sumando todos los casos (que son mutuamente excluyentes y exhaustivos) se obtienen 286 palabras de 4 letras de PARALELO.

Answer 4

Si utiliza $j$ A y $k$ L, hay $\binom3{4-j-k}$ formas de seleccionar las letras restantes, y hay $\frac{4!}{j!k!}$ diferentes formas de organizar el $4$ letras, por lo que en total hay

$$ \sum_{j=0}^2\sum_{k=0}^3\binom3{4-j-k}\frac{4!}{j!k!}=286 $$

palabras admisibles ( Wolfram|Cálculo alfa%20for%20k%3D0..3) de la suma doble).