¿Puede alguien dar una prueba elegante a la siguiente pregunta?
Para cualquier secuencia, existe una subsecuencia monótona cuyo límite es $\limsup S_n$ y existe una subsecuencia monótona cuyo límite es $\liminf S_n$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Desde $S:=\limsup x_n$ es un punto de agrupación de la sucesión real $x=(x_n)$ existe una sucesión de $x$ que converge a $S$ .
Utilizando el hecho de que toda secuencia real tiene una subsecuencia monótona se obtiene el resultado deseado.
Puede encontrar pruebas de ambos resultados aquí (y probablemente en muchos otros textos).
