Definición de cono convexo

Question

En la definición de un cono convexo, dado que $x,y$ pertenecen al cono convexo $C$ entonces $\theta_1x+\theta_2y$ también debe pertenecer a $C$ donde $\theta_1,\theta_2 > 0$ . Lo que no entiendo es por qué no existe la restricción adicional de que $\theta_1+\theta_2=1$ para asegurarse de que la línea que cruza $x$ y $y$ se limita al segmento entre ellos.

Answer 1

Basta con que $\theta_1 x+ \theta_2y \in C, \theta_1,\theta_2\ge 0$ implica $C$ es convexa, lo que incluye el caso $\theta x+(1-\theta)y,\theta \in [0,1]$ .

Y a la inversa, ¿es necesario? Decir que un cono es convexo implica $\theta_1 x+ \theta_2y \in C, \theta_1,\theta_2\ge 0$ . Convexidad significa $\theta x+(1-\theta)y \in C$ . Para un cono, $x\in C$ requiere $\lambda x \in C, \lambda \ge 0$ . A continuación, podemos sustituir $x,y$ con $\lambda x,\lambda \ge 0$ y $\mu y,\mu \ge 0$ que pertenecen a $C$ como $\theta \lambda x+(1-\theta)\mu y \in C$ . Desde $\lambda,\mu$ puede ser cualquier número real no negativo, podemos concluir que $\theta_1 x +\theta_2 y \in C, \theta_1, \theta_2 \ge 0$ es necesario, bajo la condición de convexidad.