¿Hay algún ejemplo en el que MLE produzca una estimación sesgada de la media?

Question

¿Puede dar un ejemplo de un estimador MLE de la media que esté sesgado?

No estoy buscando un ejemplo que rompa los estimadores MLE en general violando las condiciones de regularidad.

Todos los ejemplos que veo en Internet se refieren a la varianza, y no encuentro nada relacionado con la media.

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@MichaelHardy proporcionó un ejemplo donde obtenemos una estimación sesgada de la media de la distribución uniforme usando MLE bajo un cierto modelo propuesto.

Sin embargo

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_distribution_(continuous)#Estimación_del_punto_medio

sugiere que MLE es un estimador insesgado mínimo uniforme de la media, claramente bajo otro modelo propuesto.

En este punto todavía no está muy claro para mí lo que se entiende por estimación MLE si es muy hipotéticamente dependiente del modelo a diferencia de, por ejemplo, un estimador de la media muestral que es neutral al modelo. Al final estoy interesado en estimar algo sobre la población y realmente no me importa la estimación de un parámetro de un modelo hipotetizado.

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Como mostró @ChristophHanck el modelo con información adicional introdujo sesgo pero no consiguió reducir el MSE.

También tenemos resultados adicionales:

http://www.maths.manchester.ac.uk/~peterf/CSI_ch4_parte1.pdf (p61) http://www.cs.tut.fi/~hehu/SSP/lecture6.pdf (diapositiva 2) http://www.stats.ox.ac.uk/~marchini/bs2a/lecture4_4up.pdf (diapositiva 5)

"Si existe un estimador insesgado más eficiente ˆ de (es decir, ˆ es insesgado y su varianza es igual a la CRLB) entonces el método de máxima método de estimación de máxima verosimilitud lo producirá".

"Además, si existe un estimador eficiente, es el estimador ML".

Dado que el MLE con parámetros libres del modelo es insesgado y eficiente, por definición, ¿es éste "el" Estimador de Máxima Verosimilitud?

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@AlecosPapadopoulos tiene un ejemplo con distribución Half Normal en el foro de matemáticas.

https://math.stackexchange.com/questions/799954/can-the-maximum-likelihood-estimator-be-unbiased-and-fail-to-achieve-cramer-rao

No ancla ninguno de sus parámetros como en el caso uniforme. Yo diría que eso lo resuelve, aunque no ha demostrado el sesgo del estimador de la media.

Answer 1

Hay infinidad de ejemplos de este fenómeno, ya que

1. el estimador de máxima verosimilitud de una transformación biyectiva $\Psi(\theta)$ de un parámetro $\theta$ es la transformada biyectiva del estimador de máxima verosimilitud de $\theta$ , $\Psi(\hat{\theta}_\text{MLE})$ ;
2. la expectativa de la transformada biyectiva del estimador de máxima verosimilitud de $\theta$ , $\Psi(\hat{\theta}_\text{MLE})$ , $\mathbb{E}[\Psi(\hat{\theta}_\text{MLE})]$ no es la transformada biyectiva de la expectativa del estimador de máxima verosimilitud, $\Psi(\mathbb{E}[\hat{\theta}_\text{MLE}])$ ;
3. la mayoría de las transformaciones $\Psi(\theta)$ son expectativas de alguna transformación de los datos, $\mathfrak{h}(X)$ al menos para las familias exponenciales, siempre que se les pueda aplicar una transformada inversa de Laplace.