cálculo de una integración con una función suelo

Question

Intento calcular $$\int_0^1 \left(\frac{1}{x} - \biggl\lfloor \frac{1}{x}\biggr\rfloor\right) dx$$ sin éxito. ¿Alguna pista?

Answer 1

$$\int_0^1 \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x}\right\rfloor\right) dx=\lim_{k\to +\infty}\int_{\frac{1}{k}}^1 \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x}\right\rfloor\right) dx$$

Ahora para calcular la otra integral utiliza la descomposición: $$\int_{\frac{1}{k}}^1 \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x}\right\rfloor\right) dx=\sum_{i=1}^{k-1} \int_{\frac{1}{i+1}}^{\frac{1}{i}}\left(\frac{1}{x} -i\right)dx=\sum_{i=1}^{k-1}\left[\ln(x)-ix\right]_{\frac{1}{i+1}}^{\frac{1}{i}}$$

y se puede calcular esta suma y determinar el límite, Después del cálculo se obtiene:

$$\sum_{i=1}^{k-1}\left[\ln(x)-ix\right]_{\frac{1}{i+1}}^{\frac{1}{i}}=\ln(k)-\sum_{i=2}^{k}\frac{1}{i}$$

y esto te da:

$$\int_0^1 \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x}\right\rfloor\right) dx=1-\gamma$$

con $\gamma$ indica Constante de Euler-Mascheroni

Answer 2

Divídela en una suma de integrales sobre intervalos para los que conozcas el valor del término suelo. Ten en cuenta que será una suma infinita.