Límites para números armónicos generalizados

Question

Guo y Qi descubrieron recientemente límites agudos para los números armónicos ( qq.v. doi:10.1016/j.amc.2011.01.089 ). Por ejemplo, demuestran que $$H_n < \ln(n) + \frac{1}{2n} + \gamma - \frac{1}{12n^2+\frac{6}{5}},$$ donde $H_n$ es el $n$ th número armónico y $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Mi pregunta ¿Existen límites similares para el generalizado ¿números armónicos? Por "generalizados", me refiero a $H_{n,r}$ donde $$H_{n,r} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^r}.$$

Me interesa concretamente el caso en que $r = \frac{1}{2}$ .

Answer 1

Sea $f(x)=1/\sqrt{x}$ . Entonces por la suma de Euler-Maclaurin, $$\sum_{2\leq k\leq n} \frac{1}{\sqrt{k}} = \int_1^n \frac{dx}{\sqrt{x}}+\sum_{r=0}^m\frac{(-1)^{r+1}B_{r+1}}{(r+1)!} \big(f^{(r)}(n)-f^{(r)}(1)\big)+ R$$ donde $R$ es un término resto de la forma $$R=\frac{(-1)^m}{(m+1)!}\int_1^n B_{m+1}(x)f^{(m+1)}(x)dx.$$ Aquí $B_m$ es el $m$ número de Bernoulli y $B_m(x)$ es una función periódica de período 1 que coincide con la $m$ polinomio de Bernoulli en [0,1).

En $m=0$ por ejemplo, ya que $B_1=-1/2$ y $B_1(x)=$ {x} - $\frac{1}{2}$ obtenemos $$\sum_{2\leq k\leq n} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2\sqrt{n}-2 + \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{\sqrt{n}}-1\Big)+\frac{1}{3}\int_1^n x^{-3/2} dx.$$ Ahora calcula la integral y vuelve a añadir el término $k=1$ para obtener un límite superior.

Se pueden elegir límites más precisos $m=1,2,3,\ldots$ .