¿Por qué la invariancia gauge tiene consecuencias físicas?

Question

Según tengo entendido, la invariancia gauge se produce cuando la descripción de un campo físico como campo matemático ( es decir El campo matemático (función cuyo dominio es el espacio-tiempo) contiene una redundancia: hay infinitos valores posibles del campo matemático que representan el mismo campo físico. Además, debe existir libertad "local" en el sentido de que el conjunto de configuraciones del campo matemático correspondientes a una configuración del campo físico está a su vez parametrizado por otro campo matemático.

Presentada de este modo, la invariancia gauge parece ser un mero artefacto del método de descripción matemática elegido. Sin embargo, parece que podemos deducir leyes físicas reales a partir de ella, Por ejemplo Las ecuaciones de Maxwell a partir de la invariancia gauge electromagnética. ¿Cómo puede un mero artefacto matemático tener como consecuencias leyes físicas observables?

Answer 1

Cuando empezamos a describir un sistema físico en un marco matemático concreto, nuestra elección del marco está motivada por observaciones físicas. Resulta que para describir la teoría cuántica de una partícula de espín 1 sin masa como el fotón, la versión cuantizada de una teoría de campos clásica con simetría local es muy eficaz. Nuestra motivación física: ¿por qué el fotón no tiene masa?

La invariancia gauge en una teoría cuántica de campos tiene dos consecuencias físicas (que señalamos aquí, también hay otras consecuencias). La primera: las identidades de Ward-Takahashi, que son identidades de operadores no triviales que surgen de la exigencia de que la simetría gauge se mantenga como una simetría exacta, orden por orden en la teoría de perturbaciones. La segunda: la ruptura espontánea de tales simetrías es una buena manera de describir partículas masivas de espín 1 en el marco de una teoría cuántica de campos renormalizable que tiene una descripción lagrangiana clásica. Como has mencionado, es un artefacto de la descripción: otras descripciones del mismo sistema físico pueden ver una simetría local diferente en su versión del Lagrangiano clásico. Sin embargo, los efectos en la teoría cuántica completa, es decir, las identidades de operador, seguirán siendo observables físicos, es decir, el espectro seguirá teniendo un grado de libertad sin masa. Esto contrasta con $\phi^4$ donde no hay simetría gauge, y las correcciones radiativas generan una masa y rompen la simetría de escala clásica. No basta con escribir una Lagrangiana clásica sin término de masa, para asegurar que la teoría cuántica describe un campo sin masa. Esto es lo que hace la simetría gauge, nos ayuda a implementar una relación de operadores observada físicamente en el lenguaje con el que estamos más familiarizados: las QFT perturbativas.

Answer 2

En general, los campos magnético y eléctrico surgen del potencial electromagnético más fundamental y el efecto Aharonov-Bohm demuestra que este potencial tiene un significado físico real en lugar de ser una construcción puramente matemática. En la física moderna, ambos campos se combinan en el campo electromagnético, que puede describirse como la curvatura de una conexión de valor g 1-forma en el haz de principios g de una variedad riemanniana o lorentziana de 3+1 dimensiones; el potencial electromagnético o potencial gauge. Si la conexión asociada a un punto en el espacio y el tiempo es curva, se puede medir la fuerza del campo. Pero esto no es más que la descripción teórica de un fenómeno muy real.

Quizá así quede más claro: Un punto $p$ de la variedad base de un haz de principios g puede ser un elemento de infinitos subconjuntos abiertos $U_i$ del colector de base. Las fibras asociadas $F$ à $p$ en diferentes subconjuntos $U_i$ son localmente isomprficos a $G\times U_i$ . Las secciones de las fibras (potenciales gauge) tienen que ser aquivalentes para cualquier $U_i$ . Esto significa que tienen que ser invariantes bajo acciones izquierdas de un elemento del grupo estructural $G$ que es un liegrupo en el caso de un g-bundle de principio. Así que los elementos del grupo estructural transforman esas secciones, que son los potenciales gauge (más preciso: los pullbacks de secciones de formas g-valoradas son los potenciales gauge) de las fibras entre sí. Por lo tanto, es lógico que los campos gauge sean invariantes bajo la transformación del liegrupo $G$ . Los grupos gauge no son más que los grupos de estructura de los g-bundles de principio y no hacen más que valorar las diferentes fibras. Así que la suposición básica es, que cada subconjunto abierto de la variedad es aquivalente. (Diferentes observadores miden la misma fuerza de campo en el mismo punto del colector si los subconjuntos están equipados con la misma métrica). Lo que sigue es la explicación anterior.