Estoy teniendo serias dificultades para resolver esta cuestión una vez que llego al paso de la inducción. Termino llegando aquí: $$\sum_{j=1}^{(k+1)} 2^j = 2^{(k+1)+1} - 2$$ $$\sum_{j=1}^{(k+1)} 2^j = 2^1 \cdot 2^{(k+1)}-2$$ $$\sum_{j=1}^{(k+1)} 2^j = 2 \cdot 2^{(k+1)}-2$$ Pero parece que no puedo llegar más lejos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Vemos que es cierto para $n=2$ . Supongamos que es cierto para $n$ (es decir, nuestra hipótesis de inducción es $\sum_{j=1}^{n} 2^{j} = 2^{n+1} - 2$ ), entonces
\begin{align} \sum_{j=1}^{n+1} 2^{j} &= 2^{n+1}+\sum_{j=1}^{n} 2^{j}\\ &\stackrel{IH}{=}2^{n+1}+(2^{n+1}-2)\\ &=2\cdot 2^{n+1}-2\\ &=2^{n+2}-2\\ \end{align}
que completa el paso inductivo. Por lo tanto, debe ser cierto para todos $n$ .
Pero veamos lo que hiciste. Tenías esto:
$$\sum_{j=1}^{(k+1)} 2^j = 2 \cdot 2^{(k+1)}-2$$
¡Que estuvo muy cerca! Simplemente resta $2^{k+1}$ de ambos lados para obtener la hipótesis de inducción que has hecho. Aunque debes trabajar a partir de la hipótesis, es decir, de la expresión con $k$ , hacia la expresión con $k+1$ y no al revés, sólo hiciste pasos reversibles, así que podrías haber escrito tu prueba al revés.
