Geometría: Sistema de Círculos

Question

Dado un círculo $\,x^2+y^2+dx+ey+c=0,\,$ hallar la ecuación general de una circunferencia que pasa por la intersección de esta circunferencia y la recta $\,lx+my+n=0.$

Mi enfoque fue considerar un círculo de la misma forma $\,x^2+y^2+Dx+Ex+C=0\,$ y luego utilizar el hecho de que $\,x^2+y^2+dx+ey+c+K(x^2+y^2+Dx+Ex+C)=0\,$ Estableciendo $\,K=-1,\,$ Obtendría la ecuación de la recta dada anteriormente y entonces podría comparar las variables $D$ , $E$ , $C$ para obtener la ecuación parametrizada del círculo. ¿Es correcto el planteamiento? ¿Existe otra forma de resolver este problema de forma elegante?

Gracias, señor.

Answer 1

Otro enfoque, HINT

Combinación de $\,x^2+y^2+dx+ey+c=0,\,$ y $\,lx+my+n=0$ dará las coordenadas de los dos puntos de intersección (para parámetros adecuados). La mediatriz del segmento que une los puntos de intersección es la posición de los centros de nuestros círculos. Necesitamos los que pasan por los dos puntos de intersección hallados anteriormente.

Answer 2

Si $S=0$ es el círculo y $L=0$ es la línea, entonces la curva $S+tL=0$ para todos los valores distintos de cero de $t$ representará un círculo que pasa por la intersección de $S=0$ y $L=0$ .