Sea $C[0,1]$ sea el espacio de todas las funciones continuas de valor real sobre $[0,1]$ con la norma supremum habitual. ¿Existe una renormación equivalente en $C[0,1]$ tal que la norma dual correspondiente sea estrictamente convexa?
Respuesta
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Típicamente se renorma de forma equivalente un espacio de Banach $Y$ sea estrictamente convexo encontrando un operador inyectivo $S$ de $Y$ en un espacio estrictamente convexo $Z$ y definir la nueva norma sobre $Y$ por $\|y\| +\|Sy\|$ . En $Y$ y $Z$ son espacios duales y $S$ es débil $^*$ a débil $^*$ continua, la nueva norma es una norma dual (la nueva bola unitaria de $X^*$ es débil $^*$ cerrado porque $T^*$ es débil $^*$ continua).
Así que $X$ sea cualquier espacio separable y tomemos un operador $T:\ell^2 \to X$ que tiene un alcance denso. Renorm $X^*$ por $!F! := \| F \|_{X^*} + \|T^*F\|_2$ .
