Añadir $l^2$ normas con igualdad

Question

Sea $x \in \mathbb{R}^n$ sea algún vector y defina matrices (no necesariamente cuadradas) $A \in \mathbb{R}^{n_A \times n}$ , $B \in \mathbb{R}^{n_B \times n}$ .

Mi objetivo es expresar la suma de los $l^2$ normas de los vectores $Ax$ y $Bx$ de la siguiente forma: \begin{equation} \lVert Ax \rVert_2 + \lVert Bx \rVert_2 = \sqrt{x^T C^T C x} = \lVert Cx \rVert_2 \end{equation} donde $C \in \mathbb{R}^{n_C \times n}$ es función de $A$ y $B$ sólo.

n=1

En $\mathbb{R}^1$ Esto es trivial. Para $x \in \mathbb{R}$ , \begin{equation} \lVert \vec{a} x \rVert_2 = \lVert \vec{a} \rVert_2 \lvert x \rvert \end{equation} Por lo tanto, para cualquier $a \in \mathbb{R}^{n_A}$ , $b \in \mathbb{R}^{n_B}$ : \begin{equation} \lVert \vec{a} x \rVert_2 + \lVert \vec{b} x \rVert_2 = (\lVert \vec{a} \rVert_2 + \lVert \vec{b} \rVert_2) \lvert x \rvert = \sqrt{C^2x^2} \end{equation} donde $C = \sqrt{\lVert a \rVert_2 + \lVert b \rVert_2} \in \mathbb{R}$ .

¿Es esto posible para $n > 1$ ? ¿En qué condiciones puede hacerse?

Answer 1

Es cierto si y sólo si $P = A^T A$ es un múltiplo constante de $Q = B^TB$ .

La implicación de derecha a izquierda es directa. Hagamos el camino inverso.

Caso 1: Uno de $P$ y $Q$ es positiva definida.

Es bien sabido que dos formas cuadráticas, al menos una de las cuales es definida positiva, pueden diagonalizarse simultáneamente. Es decir, existe una base de vectores $x_1,x_2,\dots,x_n$ tal que $x_i^T P x_j = x_i^T Q x_j = 0$ para $i \ne j$ .

Si $P$ no es un múltiplo constante de $Q$ entonces existen dos vectores $u$ y $v$ tal que $u^T P u = v^T P v = 1$ y $u^T Q u = \lambda \ne v^T Q v = \mu$ y $u^T P v = u^T Q v = 0$ .

Sea $ {\|x\|}_* = \sqrt{x^T P x} + \sqrt{x^T Q x} $ .

Queremos demostrar que no existe una matriz $C$ tal que si ${\|x\|}_*^2 = x^T C x$ . Porque si tal matriz existiera, entonces tendríamos la identidad de polarización: $ {\|u+v\|}_*^2 + {\|u-v\|}_*^2 = 2{\|u\|}_*^2 + 2{\|v\|}_*^2 $ .

Haga los cálculos y verá que esta identidad se cumple si y sólo si $\lambda = \mu$ .

Caso 2: Ambos $P$ y $Q$ no son definidos positivos. Como son semidefinidos positivos, esto significa que ambos tienen núcleos no triviales. Si un núcleo está contenido en el otro, basta con restringir las formas cuadráticas al complemento ortogonal del núcleo más pequeño y repetir el argumento anterior. Si un núcleo no está contenido en el otro, entonces existe $u$ y $v$ tal que $u^T P u = 1$ , $u^T Q u = 0$ , $v^T P v = 0$ , $v^T Q v = 1$ . En ese caso, la identidad de polarización vuelve a fallar.

Answer 2

Si $B=kUAV$ para algún escalar $k$ y matrices ortogonales $U$ y $V$ entonces $$\|Ax\| + \|Bx\| = (1+|k|) \|Ax\| = \sqrt{x^\top C^\top C x}$$ para $C=\sqrt{1+|k|}A$ .

No estoy seguro de si esta es la condición más general en $A$ y $B$ para que su igualdad se mantenga.