¿Mayor límite inferior y menor límite superior?

Question

Como puedo calcular el glb y lub para lo siguiente.

$\{-2,2,-2.1,2.1,-2.11,2.11,...\}$

Yo pensaría que el lubricante sería $2.12$

y el glb sería $-2$

Y

$\{x:\ln(x)>0\}$

No estoy seguro de cómo encontrar el glb y lub de este.

Answer 1

Lo que tendrías en realidad en el primer caso es el límite superior mínimo como $2 +\dfrac 19 = \dfrac {19}{9}$ y el mayor límite inferior de $-2 - \dfrac 19 = -\dfrac {19}{9}$

En el segundo caso, no existe ningún límite superior, y mucho menos un límite superior mínimo, ya que no existe ningún límite superior para x para el cual $\ln x > 0$ . Sigue haciendo $x$ cada vez más grande. ¿Qué se puede decir del mayor límite inferior? Sabemos que "un" límite inferior existe en $1$ . ¿Es éste el mayor límite inferior? (Recordemos que lub y glb no tienen por qué ser en el conjunto dado).

Answer 2

$2.12$ no funciona, porque (por ejemplo) $2.115$ también es un límite superior. De hecho, también lo son $2.1115,$ $2.11115,$ $2.111115,$ etc. En consecuencia, si tenemos un número de la forma

$$2.[\text{a bunch of }1\text{s in a row}][\text{digit}]$$

con $\text{digit}>1,$ entonces será un límite superior, pero no el menos límite superior. Por otro lado, si tenemos un número de la forma

$$2.[\text{a bunch of }1\text{s in a row}]0[\text{anything else}]\;,$$ entonces no es un límite superior en absoluto. Entonces, ¿cuál es el único número viable como límite superior mínimo? Observe la simetría del conjunto en torno a $0$ (es decir, $x$ está en el conjunto si y sólo si $-x$ es). De ello se deduce que el glb será el opuesto (o negativo) del lub en este caso.

Para la segunda, te recomiendo que reescribas $\{x:\ln(x)>0\}$ como intervalo. En ese momento debería estar claro si el conjunto tiene o no un lub y/o un glb, y cuáles son.

Answer 3

Es fácil ver que cualquier número de tu primer conjunto no es mayor que $2+\frac{1}{9}=2.\dot{1}$ y no inferior a $-2-\frac{1}{9}=-2.\dot{1}$ .

Para el segundo set, $\ln(x)>0$ si $x>1$ . Así que en realidad es el conjunto (intervalo) $(1,\infty)$ .

Por tanto, el mínimo es $1$ y el supremum no existe.