interpolación spline cúbica - derivada conocida -

Question

En estos momentos intento comprender cómo aplicar el método de interpolación indicado anteriormente.

Me han dado una posición inicial y final, y para ambas posiciones sé cuál es su pendiente. $\dot{X_a} = \alpha$ y $\dot{X_b} = \beta$ a,b son las posiciones inicial y final.

Hasta ahora veo que esta es la información necesaria para poder resolver la curva de interpolación.

La nota que estoy usando dice lo siguiente.

Ecuaciones

la primera y la segunda ecuación tienen sentido. No entiendo cómo se equiparan las dos últimas, ya que potencialmente (muy probablemente) podrían explicar dos curvas diferentes, y por tanto no equipararse. ¿Es esto un error en mi nota, o me estoy perdiendo algo aquí?

Answer 1

A partir de las últimas ecuaciones, están definiendo los splines cúbicos de la siguiente manera:

$$S_i(t)=a_it^3+b_it^2+c_it+d_i, \quad \quad t_{i-1}\leq t \leq t_i\\ S_{i+1}(t)=a_{i+1}t^3+b_{i+1}t^2+c_{i+1}t+d_{i+1}, \quad \quad t_{i}\leq t \leq t_{i+1}$$

La penúltima ecuación establece que en los puntos extremos, la primera derivada del punto extremo derecho del $i-1$ (que es $t_i$ ) debe ser igual a la primera derivada del punto final izquierdo del $i$ (que también es $t_i$ ).

La parte izquierda de la ecuación procede de $S_i(t)$ . El lado derecho procede de $S_{i+1}(t)$ .

La misma ideal aplicada a la segunda derivada nos da la última ecuación.

Obsérvese que todos los coeficientes $a_i,...,d_i$ en cada intervalo. Por tanto, no hay contradicción.

En cada intervalo hay cuatro coeficientes desconocidos que determinar. Estos dan dos ecuaciones. Combinándolas con las ecuaciones que establecen la continuidad en ambos puntos extremos se obtienen cuatro ecuaciones para determinar los cuatro coeficientes:

$$a_it_i^3+b_it_i^2+c_it_i+d_i=a_{i+1}t_i^3+b_{i+1}t_i^2+c_{i+1}t_i+d_{i+1}$$

Aquí tienes una foto:

La única información conocida es la velocidad a $t_0$ y $t_N$ . Esto viene dado por las dos primeras ecuaciones. En cada uno de los otros puntos extremos (los intermedios $t_i$ 's), sólo se puede equiparar la velocidad de ambos lados.