Prueba de la cuadratura de Gauss.

Question

Sea $x_0<x_1< ... < x_n$ sean las raíces de un polinomio ortonormal de grado n+1 $\phi_{n+1}$ con respecto al producto interior:

$$\langle g,h \rangle = \int_a^bw(x)g(x)h(x)dx$$

y $$p_n= \sum_{j = 0}^nf(x_j)L_{n,j} \in \mathbb{P_n}$$

sea el polinomio interpolante de Lagrange para los datos dados.

Entonces

$$\int_a^bw(x)f(x) dx \approx \sum_{j = 0}^n \int^b_a w(x)L_{n,j}(x)f(x_j)$$

Prueba:(Las partes en rojo las he añadido para intentar entenderlo)

Sea $f \in \mathbb{P_{2n+1}}$ tal que $f(x) = q(x) \phi_{n+1} + r(x). Then;$

$$\int^b_aw(x)f(x)dx = \color{red}{\int^b_aw(x)q(x)\phi_{n+1}dx + \int^b_aw(x)r(x)dx} = \color{green}{\sum^n_{j=0}\int^b_a w(x)L_{n,j}(x)r(x_j)}$$

La primera integral roja que conozco es cero, ya que $\langle\phi_{n+1},q_n\rangle = 0; \forall q_n \in \mathbb{P_n}$ se dice que la segunda integral se "calcula exactamente". $\color{red}{\text{why is that so?}}$

Answer 1

Antwon(theswan),

Como usted dice, que $f \in \mathbb{P_{2n+1}}$ Entonces $f$ factores por división larga en $f(x) = q(x) \phi_{n+1} + r(x)$ . Pero entonces $f(x)$ es de grado $2n+1$ y $\phi_{n+1}$ es de grado $n+1$ y $q(x),r(x)$ son de grado como máximo $n$ .

Ahora tomamos el $x_j$ sean los ceros de $\phi_{n+1}$ así que tienes $f(x_j) = r(x_j)$ para $j = 0, \dots, n$ .

Creo que has llegado al menos hasta aquí ya que entiendes la factorización de la integral y comprendes el principio de ortogonalidad detrás del primer término de la factorización siendo $0$ .

Ahora, en la segunda integral es donde entra en juego la factorización "inteligente".

Tenemos:

$\int^b_a w(x)f(x)dx =^* \int^b_a w(x)r(x) =^{**} \color{red}{\sum^n_{j=0} P_j r(x_j)} = \sum^n_{j=0} \int^b_a w(x) L_{n,j}(x)r(x_j)$

donde la primera equivalencia ( $*$ ) proviene de la ortogonalidad (que usted reconoce) $\langle\phi_{n+1},q_n\rangle = 0$ y la exactitud de ( $**$ ), que corresponde a su pregunta, procede de las fórmulas de Newton-Cotes, que nos dicen que ( $**$ ) es exacta para cualquier conjunto de raíces ( $x_j$ ) para polinomios de grado máximo $n$ . Y puesto que hemos elegido sabiamente nuestras raíces, es decir, el ( $x_j$ ) de $\phi_{n+1}$ podemos utilizar lo que hemos deducido antes, que $f(x_j) = r(x_j)$ lo que conduce al resultado.

Creo que tu obstáculo se debe a que la segunda integral en rojo es de grado como máximo $n$ . Por esta razón, Newton-Cotes puede aplicarse para dibujar la exactitud. Este concepto debería coincidir con la idea de que Gauss "mejoró" la exactitud de las reglas de cuadratura para polinomios hasta $2n+1$ de las fórmulas de Newton-Cotes, y esta prueba que citas está usando el hecho de que nosotros ya sabe la exactitud se mantiene para uno de estos polinomios hasta el grado $n$ .

NOTA: He resaltado la fórmula en rojo porque me cuesta descifrar su notación. Explícitamente, $\int^b_a w(x)f(x) dx \approx \sum^n_{j=0} P_j f(x_j)$ será exacta, si $P_j = \int^b_a w(x) p_j(x) dx$ para $j = 0, \dots, n$ y el $p_j$ son los polinomios interpolantes de Lagrange.