Soporte de la medida de probabilidad contenida en el semiespacio

Question

Sea $\mu$ sea una medida de probabilidad de Borel sobre $\mathbb R^d$ . Supongamos que $\pi\cdot y\geq \lambda$ para $\mu$ -a.e. $y\in\mathbb R^d$ donde $\pi\in\mathbb R^d$ y $\lambda\in\mathbb R$ . ¿Cómo puedo demostrar que $\text{supp}(\mu)\subseteq\{y\in\mathbb R^d\mid\pi\cdot y\geq\lambda\}$ ? Definimos el soporte de una medida como el conjunto cerrado más pequeño tal que su complemento tiene medida cero.

Answer 1

Sea $A=\{y\in\mathbb R^d\mid \pi\cdot y\geqslant\lambda\}$ . Entonces $\mu(A)=1$ y $\mu(\mathbb R^d)=1$ de ahí $\mathrm{supp}(\mu)\subseteq\mathrm{cl}(A)$ . Desde $A$ está cerrado, $A=\mathrm{cl}(A)$ Por lo tanto $\mathrm{supp}(\mu)\subseteq A$ .