¿La función totiente de Euler?

Question

Tengo algunas preguntas sobre la función totiente de Euler y la aritmética modular:

Encuentre $\varphi(24)$ . Cuál será la indicación de un reloj de 24 horas $7^{19}$ ¿horas después de la 1:00?

He calculado que $\varphi(24) = 8$ con el $8$ números coprimos a $24$ en $1, 5, 7, 11, 13, 17, 23$ pero no estoy seguro de cómo trabajar la segunda parte de la pregunta.

2) Buscar $\varphi(100)$ . ¿Cuáles son las dos últimas cifras de $7^{100}$ en el sistema numérico decimal?

Hasta ahora he conseguido que $\varphi(100) = 40$ y $7^{40} = 1\ (\text{mod } 100)$ utilizando el teorema de Euler, pero no estoy seguro de cómo hacer la segunda parte de la pregunta.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

1. Desde $\varphi(24)=8$ el teorema de Fermat-Euler nos dice que $7^8\equiv1\pmod{24}$ . Por lo tanto, $7^{19}\equiv7^3\pmod{24}$ . Pero $7^2=49\equiv1\pmod{24}$ y por lo tanto $7^3\equiv7\pmod{24}$ . Por lo tanto, la respuesta es $8:00$ (ya que $8=1+7$ ).
2. Desde $\varphi(100)=40$ , $7^{100}\equiv7^{20}\pmod{100}$ . Por otra parte, $7^4=2\,401\equiv1\pmod{100}$ . Así que.., $7^{20}\equiv1\pmod{100}$ . Por lo tanto, el último $2$ dígitos son $0$ y $1$ .