Cálculo de la integral de contorno - conmutar límite e integral

Question

Contexto: Quiero calcular la integral de Dirichlet con la ayuda de $f(z)=\frac{\exp(iz)}{z}$ pero sin residuos, lema de Jordan, etc, así que todo a mano. Aunque entendí cómo demostrar que algo converge a $0$ Sigo sin entender cómo se demuestra que algo converge a un valor determinado.

Estoy confundido sobre las reglas de conmutación de límites e integrales. En concreto:

Quiero demostrar que la integral de $f(z)=\frac{\exp(iz)}{z}$ a lo largo de la curva $\gamma:[0,\pi] \to \mathbb C$ , $\gamma(t)=\epsilon \exp(it)$ - por lo que el pequeño semicírculo alrededor de $0$ - va a $i\pi$ .

Así que se reduce a mostrar $lim_{\epsilon \to0} \int_{0}^{\pi} \exp(\epsilon i e^{it} ) dt=\pi$

Sé que un método sería mostrar que $\exp(\epsilon i e^{it} )$ converge uniformemente a $1$ pero creo que formalmente podría tener problemas como

$|\exp(\epsilon i e^{it} )|=|\frac{1}{\exp(\epsilon \sin(t))}|$ y la convergencia no será uniforme como $\sin(t)$ puede ser pequeño en $[0,\pi]$

¿Es posible utilizar la convergencia dominada demostrando que $|\frac{1}{\exp(\epsilon \sin(t))}|$ ¿es integrable?

$\int_{0}^{\pi} |\frac{1}{\exp(\epsilon \sin(t))}| dt$

$\le \int_{0}^{\pi} |\frac{1}{1+\epsilon \sin(t)}| dt$

$= \int_{0}^{\pi/2} |\frac{1}{1+\epsilon \sin(t)}|dt+\int_{\pi/2}^{\pi} |\frac{1}{1+\epsilon \sin(t)}|dt$ y por convexidad/cóncava de $\sin$

$\le \int_{0}^{\pi/2} |\frac{1}{1+\epsilon \frac{2}{\pi} t}|dt+\int_{\pi/2}^{\pi} |\frac{1}{1+\epsilon (-\frac{2}{\pi} t+2)}|dt$

$=\int_{0}^{\epsilon} \frac{1}{1+u}\frac{2}{\epsilon \pi}du+\int_{1}^{0} \frac{1}{1+\epsilon u} \frac{-\pi}{2} du$

$=\pi (\frac{\ln \epsilon+1}{\epsilon})$ $<\infty$

Así que por DCT: $lim_{\epsilon \to0} \int_{0}^{\pi} \exp(\epsilon i e^{it} ) dt=\int_{0}^{\pi} lim_{\epsilon \to0} \exp(\epsilon i e^{it} ) dt = \int_{0}^{\pi} 1dt=\pi$

Entonces, mi pregunta es: ¿Es esta una manera formalmente correcta o todos estos cálculos fueron inútiles? ¿O existe un método estándar para hacer esto?

Answer 1

Tienes un error en la evaluación de las últimas integrales. Y para el teorema de convergencia dominada, necesitas una función dominante que sea independiente de $\epsilon$ .

Pero estás pensando demasiado complicado. En $[0,\pi]$ tenemos $\sin t \geqslant 0$ y tenemos $\epsilon > 0$ Así que

$$\biggl\lvert\frac{1}{\exp (\epsilon \sin t)}\biggr\rvert \leqslant 1.$$

Dado que el dominio de integración tiene medida finita, eso demuestra que es aplicable el teorema de convergencia dominada.

Además, la convergencia de $\exp (i\epsilon e^{it})$ a $1$ es uniforme. Para cada $z \in \mathbb{C}$ tenemos

$$\lvert e^z - 1\rvert = \Biggl\lvert \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^n}{n!}\Biggr\rvert \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\lvert z\rvert^n}{n!} = e^{\lvert z\rvert} - 1,$$

por lo que vemos

$$\lvert \exp(\epsilon ie^{it}) - 1\rvert \leqslant e^{\epsilon} - 1.$$

En $\epsilon \leqslant 1$ podemos acotar el lado derecho mediante $(e-1)\cdot \epsilon$ .