Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces para dos subespacios cualesquiera $U,W$ demuestre que $(U\cap W)^0=U^0+W^0.$

Question

Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces para dos subespacios cualesquiera $U, W$ demuestre que $(U\cap W)^0=U^0+W^0.$ Aquí $W^0$ significa el aniquilador de $W.$

Mi intento: Sabemos que $\dim (U\cap W)+\dim (U\cap W)^0=\dim V$ y que $\dim (U+ W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W).$ Así que tenemos que $$\dim U+\dim W-\dim (U\cup W)+\dim (U\cap W)^0=\dim V$$

$$-\dim U^0-\dim W^0+\dim (U\cup W)^0+\dim (U\cap W)^0=0.$$

También sabemos que $\dim(U^0+W^0)=\dim U^0+\dim W^0-\dim (U\cap W)^0$ y así obtenemos que $$\dim (U^0+W^0)=\dim (U\cap W)^0.$$ Ahora tenemos que demostrar que una está contenida en la otra y ya está. Si elegimos $\sigma \in U^0+W^0$ observamos que $\sigma=\phi_u+\psi_w.$ Si alguna $\alpha\in U\cap W$ entonces $\sigma(\alpha)=\phi_u(\alpha)+\psi_w(\alpha)=0+0=0$ y así $\sigma\in (U\cap W)^0.$ Por lo tanto, son iguales. ¿Es correcta esta prueba?

Answer 1

¿Podemos demostrar primero que $(U+W)^0=U^0\cap W^0$ (es decir, una identidad similar en la que $+$ y $\cap$ han cambiado de lugar)?

Si $f\in (U+W)^0$ entonces $f(v)=0$ para todos $v\in U+W\supset U, W$ Así que $f\in U^0$ y $f\in W^0$ es decir $f\in U^0\cap W^0$ .

Por el contrario, si $f\in U^0\cap W^0$ entonces $f\in U^0$ y $f\in W^0$ por lo que para $v\in U+W$ , $v=u+w$ para algunos $u\in U, w\in W$ tenemos $f(v)=f(u)+f(w)=0+0=0$ Así pues $f\in (U+W)^0$

Tenga en cuenta que esto es similar a la 2ª parte de su prueba. Es sólo que, cuando se cambia $+$ y $\cap$ puedes demostrar una afirmación más fuerte (igualdad en lugar de mera inclusión unilateral). Aquí no necesitas ninguna dimensionalidad.

Para el resto, hacemos lo mismo que en su primera parte de la prueba, utilizando el análisis dimensional:

$$\begin{align}\dim(U\cap W)^0 & = \dim V-\dim(U\cap W) \\ & = \dim V-(\dim U + \dim W - \dim(U+W)) \\ & = \dim V-(\dim V-\dim{U^0} + \dim V-\dim{W^0}-\dim V + \dim(U+W)^0) \\ & = \dim{U^0}+\dim{W^0}-\dim(U^0 \cap W^0) \\ & = \dim(U^0+W^0)\end{align}$$

Ahora, usando su (correctamente probada) inclusión $U^0+W^0\subseteq (U\cap W)^0$ llegamos a la conclusión deseada.

Answer 2

Deberías arreglar $U\cup W$ en $U+W$ . Con esta corrección, su argumento es bueno.

Aquí tienes una más corta.

Si $V$ es de dimensión finita, tenemos $U^{00}=U$ para todos los subespacios $U$ . Por lo tanto, podemos demostrar que $U=W$ sólo si $U^0=W^0$ .

Por tanto, su afirmación equivale a $(U\cap W)^{00}=(U^0+W^0)^0$ es decir, establecer $U_1=U^0$ y $W_1=W^0$ , $$ U_1^0\cap W_1^0=(U_1+W_1)^0 $$ Esta relación es válida para todos los subespacios, incluso en espacios de dimensión infinita, y es fácil de demostrar.