Cuantización del espín del electrón

Question

¿Por qué está cuantizado el espín de los electrones? He visto la derivación para los niveles de energía del átomo de hidrógeno, pero mi profesor saltó a los electrones que tienen espín 1/2 o -1/2 como experimental. ¿Por qué los electrones obedecen las mismas reglas de cuantización para el momento angular que el átomo de hidrógeno? ¿Por qué los dos estados deben estar separados por uno?

Answer 1

Voy a darles, no una explicación rigurosa, sino una sensación.

La discretización del momento angular es consecuencia de la naturaleza cuántica de las partículas.

Imaginemos una partícula clásica en rotación, la variación de la acción podría escribirse :

$\Delta S = J \Delta \theta$

donde $J$ es el momento angular, y $\theta$ un ángulo.

En este momento, no hay ninguna razón por la que $J$ debe tener valores discretos.

Pasemos ahora a la mecánica cuántica. El punto principal es que, en la mecánica cuántica, $ \large \frac{S}{\hbar}$ es una fase. Por ejemplo, si queremos calcular la amplitud de transición (propagador), tenemos :

$$<x't'|xt> = \int D \Phi ~e^{i\large \frac{\Delta S(\Phi)}{\hbar}}$$ donde la suma se realiza para todos los caminos $\Phi$ con $\Phi(t) =x$ y $\Phi(t') =x'$

Queda muy claro, en esta expresión, que $ \large \frac{S}{\hbar}$ es realmente una fase.

Ahora, podemos escribir, formalmente, $e^{i\large \frac{\Delta S}{\hbar}}$ como, para su pregunta, como $e^{i\large \frac{ J \Delta \theta}{\hbar}}$

Pero, porque $\theta$ es un ángulo, se identifica con $\theta + 2 \pi$ y si queremos que $e^{i\large \frac{ J \Delta \theta}{\hbar}}$ no cambia, necesitamos :

$$\frac{J (2 \pi)}{\hbar} = 2 \pi n$$ Es decir :

$$J = n \hbar$$

Ahora, si se quiere ser más riguroso, se puede decir que, en mecánica cuántica, vamos a buscar representaciones unitarias de grupos. Por ejemplo, podemos buscar en el grupo de rotaciones $SO(3)$ . Se trata de un grupo compacto (debido a la identificación $\theta$ con $\theta + 2 \pi$ ), por lo que podemos encontrar representaciones de dimensión finita. Para encontrar todas las representaciones, tenemos que considerar de hecho $SU(2)$ . Las representaciones de $SU(2)$ están etiquetados con un semi-integro o un entero : $0,1/2,1,3/2,2$ etc. En una representación $s$ , tienes $2s+1$ estados, etiquetados por $-s, -s+1,....,s-1,s$ . Para la representación $s= 1/2$ tienes 2 estados etiquetados $-1/2, +1/2$

Answer 2

El espín de una partícula no se crea por una rotación de la partícula alrededor de sí misma. Es un efecto relativista. Por favor, pregúntese por qué el electrón en un átomo de hidrógeno puede encontrarse a ciertas distancias del núcleo, y NO a CUALQUIER distancia. Es porque la función-onda interfiere consigo misma y hay distancias prohibidas porque ahí, la función-onda interfiere DISTRUCTIVAMENTE. Lo mismo con el espín. La diferencia es que la función de onda para el espín no dice DÓNDE está la partícula, no es una función de posición.

Con mucho gusto,

Sofía