¿Por qué el valor minmax es igual al valor maxmin en el juego de dos jugadores?

Question

En los juegos de dos jugadores, el valor minmax de un jugador siempre es igual a su valor maxmin.

Esta proposición es de Fundamentos de la teoría de juegos . El valor minmax es $\min_{s_{-i}}\max_{s_{i}} u_{i}(s_i,s_{-i})$ mientras que el valor maxmin es $\max_{s_{i}}\min_{s_{-i}} u_{i}(s_i,s_{-i})$ Creo.

Sólo entiendo que $\max\min\le\max\min$ porque tenemos $\min\le \max$ al principio y luego aplicando $\max$ y $\min$ en ambos lados respectivamente no cambia nada. Pero realmente no sé por qué son iguales en el juego de dos jugadores como se menciona en el libro.

(Sé que esto es cierto en el juego de suma cero por el teorema de von Neumann. Tal vez esa proposición es un error tipográfico del libro).

Gracias de antemano.

Answer 1

Si sólo se tienen en cuenta las $i$ es como si jugaran un juego de suma cero con sólo estos pagos. Jugador $i$ intentó maximizarlo, el otro jugador minimizarlo y efectivamente, el minimax=maximin (sólo en acciones mixtas. Véase el contraejemplo de @Herr K. cuando sólo se consideran puras).

Answer 2

La afirmación parece errónea. Como contraejemplo, considere los pagos del jugador 1 (jugador de la fila) en el siguiente juego de dos jugadores: \begin{array}{|c|c|c|} \hline &C&D\\\hline A&2,\;\cdot&1,\;\cdot\\\hline B&0,\;\cdot&3,\;\cdot\\\hline \end{array} Se puede comprobar que \begin{equation} \min_{s_2}\max_{s_1}u_1(s_1,s_2)=u_1(A,C)=2 \end{equation} y \begin{equation} \max_{s_1}\min_{s_2}u_1(s_1,s_2)=u_1(A,D)=1. \end{equation} Los dos valores no son iguales.