Amplitud lineal de los núcleos de Poisson densos en $L^1(\mathbb{T})$

Question

Un artículo que estoy leyendo ("Schur's Algorithm, Orthogonal Polynomials, and Convergence of Wall's Continued Fractions in $L^2(\mathbb{T})$ " de Sergei Khrushchev...realmente un gran artículo) menciona repetidamente la densidad del tramo lineal de los núcleos de Poisson en $L^1(\mathbb{T})$ .

Conozco la aproximación delta de la convolución estándar del núcleo de Poisson y los diversos sentidos de esta convergencia. ¿Implica esto nuestra conclusión sobre la densidad? Puede que me esté perdiendo algo, pero me parece que no es trivial.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Sea $M$ sea el tramo lineal de estos núcleos. Si $M$ no es denso en $L^1,$ entonces por Hahn-Banach, existe un $f\in L^\infty,$ $f$ no la función cero, tal que $\int fg = 0$ para todos $g\in M.$ Esto da $P_r*f(\theta) \equiv 0$ para $r\in [0,1), \theta \in (0,2\pi].$ Pero sabemos como $r\to 1,$ $P_r*f\to f$ en, digamos, $L^2,$ que contiene $L^\infty.$ Esto nos dice $f$ es la función cero después de todo, contradicción.