Mapas de handlebodies de factoraje

Question

Cualquier mapa de grafos finitos (1-dimensional de CW-complejos) factores como la composición de

1. una secuencia finita de pliegues;
2. una inclusión; y
3. un finito-a-uno sobre el mapa.

Debe haber un resultado correspondiente para handlebodies, que presumiblemente debería decir que, después de un homotopy, un mapa continuo de handlebodies factores como:

1. una compresión (por que me refiero a un mapa de un mango en el complemento de su interior);
2. una inclusión; y
3. un finito-a-uno sobre el mapa.

Es mi intuición correcta, y ¿alguien tiene una referencia? Estoy especialmente interesado en cómo se comportaba el homotopy puede ser llevado a ser. Por ejemplo, puede ser hecho respetar el límite?

Notas

Un pliegue es un mapa que identifica dos bordes con un punto final común. Muchos pliegues no cambiar el homotopy tipo de gráfico, y sería de esperar que no necesitan estas en el handlebody configuración. El importante pliegues son los que matan a un bucle. En handlebody términos, usted puede pensar en esto como pegamento en una de dos manijas, o como el corte de una sola asa - de ahí mi uso de la palabra "compresión". Es esta palabra aceptable en este contexto?

La teoría de grafos resultado es debido a Stallings.

Por una inclusión de handlebodies, me refiero a que el nuevo debe ser obtenido a partir de la edad adjuntando 1-asas.

EDITAR (pregunte por Sam comentarios de abajo) no estoy muy seguro de lo que "respetan el límite" debe significar, en este punto. Sugerencias bienvenidos!

Answer 1

Supongamos que nos dan una PL mapa de un handlebody $W$ a un handlebody $V$. Elija una columna de $W$. Homotope el mapa hasta que la imagen es un regular barrio de la imagen de la columna vertebral. Por la posición en general, nuestra mapa es ahora una incrustación. Arreglar un pantalón de descomposición de discos $D = (D_i)$, for $V$. Suppose that $P$ is a component of $V - D$ (so $P$ es un tres bolas con tres distinguidos discos en su límite). Considere la posibilidad de un componente $X$ $f(W) \cap P$. Esto es esencialmente un anudado gráfico. A través de un homotopy (mantener $X \cap D$ fijo) unknot $X$. Si el rango de $X$ es positiva, entonces la otra homotopy produce pequeñas paletas que vamos a comprimir un poco más tarde. Si $X$ cumple con cualquier disco de $D_i \subset \partial P$ más de una vez a continuación, podemos homotope una pierna de $X$ a través de $D_i$. Deje $Y$ ser el componente resultante de $f(W) \cap P$. (Note that this reduces $f(W) \cap D$.)

Homotoping en esto de la moda que finalmente llega a una incrustación de $W$ de modo que cada componente de cada tres bolas de $V - D$ es un trípode o un intervalo, posiblemente con piruletas adjunta. Los pies de el trípode/intervalo de mentira en distintos discos en el límite de la contiene sólido pantalones.

Ahora comprimir todas las paletas para obtener $f'(W')$ (un nuevo handlebody, porque nos comprimido y un nuevo mapa, porque tenemos que extender sobre las dos asas hemos añadido).

EDITAR: Este reproduce, en nuestro contexto, parte de Stallings de papel (por ejemplo, deslizamiento la pierna es un pliegue, llegando a sólo trípodes y los intervalos produce una inmersión.)

Desde $f'$ es una inmersión, se sigue de Stallings papel que $f'$ es $\pi_1$ inyectiva y que $W'$ incrusta en un número finito de la cubierta de $V$.