Ayuda para demostrar que $2^{p}f(x) - 1$ et $1 + 3f(x)$ son coprimos

Question

La coprimalidad de los números es un concepto nuevo para mí. He estado leyendo sobre el tema y aún no acabo de entenderlo. ¿Hay alguna manera de demostrar que dado $2^{p}f(x) - 1$ et $1 + 3f(x)$ son coprimos para todos los valores de x donde $p \geq 1$ y es un número entero y $f(x) \geq 1$ y es un número entero para todos los valores de $x$ ?

Puedo ver que para cualquier valor de $f(x)$ , un lado será par y el otro impar. Pero no sé si eso es suficiente por sí solo.

Editado para mayor claridad. La pregunta que tengo es que estoy trabajando con una ecuación de la forma

$$2^{q}(2^{p}f(x) - 1) = 3(1 + 3f(x))$$

Tiene la forma $p_{1}^{a_{1}} \times g(x) = p_{2}^{a_{2}} \times h(x)$ donde $p_{1}$ et $p_{2}$ son primos y $a_{1}$ et $a_2$ son enteros positivos. Intento demostrar en este caso que

$$2^{p}f(x) - 1 = 3$$ $$2^{q} = 1 + 3f(x)$$

Pero esto sólo es cierto si $2^{p}f(x) - 1$ y $1 + 3f(x)$ son coprimos. ¿Hay alguna forma de demostrar que son coprimos?

Answer 1

Si $\ f(x)\ $ es un número entero y $\ f(x)\ge1\ $ entonces los únicos enteros no negativos $\ p, q\ $ para la cual la ecuación $$2^q\big(2^pf(x)1\big)=3(1+3f(x))$$ pueden satisfacerse son $\ p=q=2\ $ en cuyo caso $\ f(x)=1\ $ . Así que $\ 2^pf(x)-1=3$ et $\ 1+3f(x)=2^q\ $ son efectivamente relativamente primos, aunque esto es sólo una consecuencia incidental del hecho de que las únicas soluciones enteras de la ecuación $$2^q\big(2^pr1\big)=3(1+3r)$$ con $\ p\ge0$ , $\ q\ge0\ $ y $\ r\ge1\ $ son $\ p=q=2\ $ et $\ r=1\ $ .

Reescribiendo la ecuación anterior como $$r=\frac{2^q+3}{2^{p+q}-9}\ ,$$ la condición de que $\ r\ge1\ $ nos dice que $\ p+q\ge4\ $ y $$12\ge2^q(2^p-1)\ .$$ Si $\ p\ne0\ $ los únicos otros valores no negativos de $\ p\ $ et $\ q\ $ que pueden satisfacer estas dos desigualdades son $\ p=1, q=3\ $ o $\ p=q=2\ $ . El primero de ellos da $$r=\frac{11}{7}\ ,$$ que no es un entero.

Si $\ p=0\ $ entonces $$r=\frac{2^q+3}{2^{q}-9}=1+\frac{12}{2^q-9}\ ,$$ con $\ q\ge4\ $ . Pero $\ q=4\ $ da $\ r=\frac{19}{7}\ $ y $\ q>4\ $ da $\ 1<r<2\ $ y por lo tanto es imposible que $\ r\ $ sea un número entero en este caso.

Así, en las condiciones $\ p\ge0, q\ge0\ $ et $\ r\ge1\ $ esta ecuación diofantina tiene solución única $\ r=1, p=q=2\ $ .