Este es el problema que tengo:
Déjalo:
$$G = \left\{\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix} \in GL(2,R)\right\}$$
$$H = \left\{\begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix} \in GL(2,R)\right\}$$
$$K = \left\{\begin{bmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in GL(2,R)\right\}$$
Es $G$ isomorfo de $H \times K$ ?
Digamos que sí:
$\phi : G \rightarrow H \times K$ donde:
$\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & c \end{bmatrix} \rightarrow (\begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{bmatrix})$
Entonces, este extraño mapeo claramente no es la biyección. Sin embargo, sólo he demostrado que una función no es un isomorfismo. La cosa es: necesito encontrar el homomorfismo biyectivo, que son inyectivos y suryectivos.
Algunas notas que tomé son:
- G está formada por cualquier matriz triangular superior, incluida la matriz identidad.
- H x K es el producto cartesiano de dos matrices. Es decir $(\begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & a\\ 0 & 1 \end{bmatrix})$ . Pero esto es un conjunto de H x K. Si multiplico los mismos tipos de matrices con cualquier constante arbitraria por coordenadas, entonces obtengo el grupo: $(\begin{bmatrix} aa' & 0\\ 0 & bb' \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & a + a'\\ 0 & 1 \end{bmatrix})$
- Una función es homomorfa si $\phi (xy) = \phi (x) \phi (y)$
- Una función es inyectiva si su núcleo está formado únicamente por un elemento de identidad.
- La imagen del inverso del elemento es congruente con la preimagen del mismo elemento. Es decir: $\phi (x^{-1}) = \phi^{-1}(x)$
El problema es que no sé por dónde empezar con este problema. Parece que no puedo encontrar la biyección.
¿Algún consejo o comentario?
