¿Cómo puede ser abierto el conjunto vacío en la definición de la topología cofinita?

Question

Digamos que tenemos un conjunto infinito $X$ y una topología $T$ . En la definición general de una topología el conjunto vacío $\emptyset$ y todo el conjunto $X$ pertenecen a la topología. Pero eso no es contradictorio con la definición de la topología cofinita.

Topología cofinita:

$T = \{ A \subset X | A = \emptyset $ o $ X\setminus A$ es finito $\}$

Así que según la definición de topología tenemos que $X,\emptyset \in T$ y según la topología cofinita sólo tenemos $\emptyset \in T$ (Todo el conjunto $X$ está cerrado).

Gr

Answer 1

La topología cofinita es la topología más pequeña en la que todos los conjuntos cofinitos son abiertos.

Resulta que sólo se trata de los conjuntos cofinitos, a los que se añade el conjunto vacío. Como la gente suele odiar tener que cargar con palabras adicionales, como "generado por" o "topología más pequeña que contiene", en este caso, en el que el único conjunto que falta es el propio conjunto vacío, abusamos del lenguaje y decimos simplemente topología cofinita.

Answer 2

No, no lo es: Vamos a $A=X\subset X$ entonces $X \backslash X = \emptyset$ que es claramente finito, de hecho $|\emptyset|=0$ es decir, la cardinalidad del conjunto vacío es cero. Por lo tanto, $X\in T$

Answer 3

$X\in T$ como $X \setminus X = \emptyset$ que es finito.

Answer 4

Todo el conjunto $X$ es cerrado, pero eso no significa que no pueda ser abierto. En topología cerrado no implica no abierto y vice (no) versa. Y conjunto vacío y espacio entero $X$ son siempre conjuntos clopen (tanto cerrados como abiertos) en cualquier topología.

Answer 5

En caso de que X es finito, X \empty configure \= X es finito,pero cuando X es infinito, entonces X \empty configure \= X es infinita y no es abierta, evidentemente. debe mencionar la inclusión del conjunto vacío, por separado, en la colección de todos los subconjuntos co finitos de X así pues ,tau es la colección que contiene el conjunto vacío y todo subconjunto cofinito de X . es decir, tua ={ A : A es cualquier subconjunto cofinito de X }U{ {} } Esto se convierte en topología cofinita en X .