Si $X\sim \Gamma(a,\sigma_x^2)$ et $Y\sim \Gamma(b,\sigma_y^2)$ . ¿Cuál será la función de densidad de probabilidad de R? Donde $R=\frac{X+C}{X+Y}$ Aquí $C$ es una constante positiva, $\Gamma(.,.)$ denota la función de densidad de probabilidad gamma estándar y ' $\sim$ representa "distribuido como". X e Y son variables aleatorias independientes.
Respuestas
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En primer lugar, puesto que $R=(X+C)/(X+Y)$ (y $X$ et $Y$ son variables gamma independientes), entonces el rango válido de $R$ es a priori $(0,\infty)$ . La densidad de $(R,S)$ viene dada por $f_{R,S} (r,s) = f_X (sr - C)f_Y (s - sr + C)s$ donde $f_X$ et $f_Y$ son las densidades de $X$ et $Y$ (véase la observación siguiente). Esto nos lleva a $sr-C > 0$ et $s-sr+C > 0$ . Así, $s > C/r$ et $s(r-1) < C$ . Por lo tanto, si $r > 1$ entonces $C/r < s < C/(r-1)$ mientras que si $0 < r < 1$ entonces $C/r < s < \infty$ . Así, para $0 < r < 1$ utilizarías $f_R (r) = \int_{C/r}^\infty {f_{R,S} (r,s)\,{\rm d}s}$ y para $r > 1$ , $f_R (r) = \int_{C/r}^{C/(r-1)} {f_{R,S} (r,s)\,{\rm d}s}$ . En general, una buena expresión para $f_R (r)$ no es probable que se encuentre. [Punto menor: a la vista del título, obsérvese que $X+Y$ no tiene, en general, distribución gamma].
Observación: Como observó Didier, un factor de $s$ faltaba en la expresión original para $f_{R,S}(r,s)$ (ya arreglado). La densidad $f_{R,S}(r,s)$ se encuentra de la siguiente manera. $(X,Y)$ tiene densidad $f_{X,Y}(x,y)=f_X (x) f_Y (y)$ . Observando que $X=SR-C$ et $Y=S-SR+C$ se deduce por la fórmula estándar de transformación de rv's que $f_{R,S} (r,s)$ viene dada por $f_{X,Y}(sr-C,s-sr+C)$ veces $|J(r,s)|$ donde $J(r,s)$ viene dado por el determinante $\frac{{\partial (sr - C)}}{{\partial r}}\frac{{\partial (s - sr + C)}}{{\partial s}} - \frac{{\partial (sr - C)}}{{\partial s}}\frac{{\partial (s - sr + C)}}{{\partial r}} = s$ . Así, $f_{R,S} (r,s)$ es $s$ veces la expresión original.
Braunson
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El OP pidió la función de densidad de probabilidad $f_R$ de $R=(X+C)/(X+Y)$ para un positivo $C$ . Shai recordó la estrategia clásica para calcular $f_R$ y explicó por qué una bonita expresión de $f_R$ es poco probable que surja en el caso general.
El caso límite $C=0$ es más agradable. Entonces $R=X/(X+Y)$ Así pues $R\in(0,1)$ casi seguro y $$ f_R(r)=\frac{cr^{a-1}(1-r)^{b-1}}{\left(\sigma_y^2r+\sigma_y^2(1-r)\right)^{a+b}}, $$ para una constante de normalización adecuada $c$ en función de $(a,b,\sigma_x^2,\sigma_y^2)$ .
Como era de esperar, si $\sigma_x^2=\sigma_y^2$ , $f_R$ es Beta $(a,b)$ densidad. En términos más generales, $R=T(R_0)$ donde $R_0$ es Beta $(a,b)$ y $$ T(r)=\frac{\sigma_x^2r}{\sigma_x^2r+\sigma_y^2(1-r)}. $$
