Encuentre $(\delta-\alpha)(\gamma-\alpha)(\delta-\beta)(\gamma-\beta)$ como un polinomio de p,q,r,s

Question

La ecuación $x^2+px+q=0$ tiene raíces $\alpha , \beta$ la ecuación $y^2+ry+s=0$ tiene raíces $\delta, \gamma$ . Visite $$(\delta-\alpha)(\gamma-\alpha)(\delta-\beta)(\gamma-\beta)$$ como un polinomio de p,q,r,s.( Este polinomio se llama la resultante de dos polinomios cuadráticos, es igual a cero si estos dos polinomios tienen una raíz común).

La pregunta viene de Gelfand y Shen 'Álgebra' . Viene después de una sección sobre el Teorema de Vieta $$\alpha + \beta = -p$$ $$\alpha.\beta = q$$ He intentado multiplicar los paréntesis pero no veo cómo relacionar los términos con p,q,r y s. Creo que el problema está diseñado para ser resuelto con álgebra básica.

Answer 1

Pista: $$ x^2+px+q=(x-\alpha)(x-\beta) $$ implica $$ (\delta-\alpha)(\delta-\beta)=\delta^2+p\delta+q $$ y $$ (\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)=\gamma^2+p\gamma+q. $$ Se reduce a calcular $$ (\delta^2+p\delta+q)(\gamma^2+p\gamma+q). $$ Expandiéndolo, y aplicando después el otro Teorema de Vieta, el resultado es $$ q^2+s^2-pqr-srp+qr^2+sp^2-2sq. $$