Triángulos semejantes y el teorema de Pitágoras

Question

Derivar el Teorema de Pitágoras eliminando el $x$ .

Ya he demostrado que $\triangle BAE$ y $\triangle BDE$ son congruentes, y que $\triangle EDC$ y $\triangle BAC$ son triángulos semejantes. Sin embargo, tengo problemas para establecer las proporciones resultantes y utilizarlas para deducir el Teorema de Pitágoras. Creo que las proporciones resultantes son $$\frac{BA}{DE} = \frac{AC}{DC} = \frac{BC}{EC}.$$ Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Desde $BE$ es la bisectriz angular de $\widehat{ABC}$ tenemos que $$ AE=\frac{c}{a+c}\cdot b,\qquad CE=\frac{a}{a+c}\cdot b $$ y puesto que $\frac{CD}{CE}=\frac{b}{a}$ también tenemos $$ a = CD+BD = \frac{b}{a} CE+ AB = \frac{b}{a}\cdot\frac{ab}{a+c}+ c $$ de la cual: $$ (a-c)(a+c) = b^2 $$ y $a^2=b^2+c^2$ como quería.