¿Este juego tiene un núcleo?

Question

Intento encontrar el núcleo de este juego cooperativo:

$N = \{1,2,3\}$ y $v(\{1\})=24$ , $v(\{2\})=24$ , $v(\{3\})=26$ , $v(\{1,2\})=42$ , $v(\{1,3\})=44$ , $v(\{N\})=52$ .

Mi solución:

$x_1 \ge 24$
$x_2 \ge 24$
$x_3 \ge 26$

$x_1+x_2 \ge 42$
$x_1+x_3 \ge 34$
$x_2+x_3 \ge 44$
$x_1+x_2+x_3=52$

Manipulando las cuatro últimas expresiones he obtenido las siguientes desigualdades:

$x_1 \le 10$
$x_2 \le 18$
$x_3 \le 8$

Que (creo) están en contraste con los tres primeros, por lo que el núcleo debe estar vacío (?).

Mi libro en cambio da como solución: $co \{(24, 18, 10), (18, 24, 10), (8, 24, 20), (8, 18, 26) \} $ .
Diagrama de solución

¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Tienes toda la razón, el núcleo debe estar vacío. La forma más rápida de verlo es utilizar las desigualdades de las coaliciones de un solo miembro, sumándolas se obtiene $\sum_{i \in N} x_{i} \ge 24 + 24 +26 = 74 > 52 = v(N)$ . Por lo tanto, se viola la restricción de Pareto-eficiencia, el núcleo debe estar vacío.

Supongo que se trata de una errata del libro. Por cierto, debido a las limitaciones anteriores establecer el valor de la coalición $\{1,3\}$ debe ser $34$ y el de coalición $\{2,3\}$ debe ser $44$ .